4.7.1.2. Случай наличия кратных корней характеристического уравнения

Пусть ₁ есть k-кратный корень характеристического уравнения (вещественный или комплексный), так что

P(₁)=P(₁)=…=P^(k–1)(₁)=0, но P^(k)(₁)0. (4.7.16)

Чтобы найти решения, соответствующие характеристическому числу ₁, поступим следующим образом. Продифференцируем тождество

L(e^x)=P()e^x (4.7.17)

m раз по , используя при дифференцировании левой части формулу

(u=e^x),

т. е. выполняя дифференцирование по  под знаком оператора, а при дифференцировании правой части формулу Лейбница для m-й производной от произведения двух функций

,

полагая u() = P(), v() = e^x. Получим:

. (4.7.18)

Отсюда вследствие (4.7.16) имеем:

(4.7.19)

т. е. функции

(4.7.20)

являются решениями уравнения (4.7.2).

Эти решения линейно независимы в интервале (,+). Если при этом ₁ есть вещественный корень, то решения (4.7.20) тоже вещественны.

Таким образом, всякому вещественному корню ₁ кратности k соответствует k вещественных линейно независимых решений вида (4.7.20).

Если характеристическое уравнение имеет комплексный корень a + ib кратности k, то оно имеет и сопряженный комплексный корень aib той же кратности. Согласно (4.7.20), корню a + ib соответствует k решений:

e^(a+ib)x, x e^(a+ib)x,…,x^k1 e^(a+ib)x. (4.7.21)

Эти решения комплексные. Отделив в них вещественные и мнимые части, мы получим 2k вещественных решений:

(4.7.21)

Эти решения линейно независимы в интервале (,+).

Нетрудно убедиться, что так же, как и в, случае простого комплексного корня, сопряженный корень aib не порождает новых вещественных линейно независимых частных решений.

Таким образом, каждой паре сопряженных комплексных корней aib кратности k соответствует 2k вещественных линейно независимых решений вида (4.7.21).

В общем случае, построив вещественные решения, соответствующие каждому простому вещественному корню, линейно независимые решения, соответствующие каждой паре простых сопряженных комплексных корней, линейно независимые решения, соответствующие каждому кратному вещественному корню и каждой паре кратных сопряженных комплексных корней, мы получим всего n вещественных решений.

Линейная комбинация найденных n линейно независимых решений с произвольными постоянными коэффициентами есть общее решение в области (4.7.9). При этом вещественному корню ₁ кратности k соответствует в общем решении слагаемое , а паре сопряженных комплексных корней a  ib кратности k соответствует слагаемое e^ax(P_k1(x) cosbx + Q_k1(x)sinbx), где P_k1(x) и Q_k1(x) – полиномы степени k–l с произвольными коэффициентами.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение

.

Составим характеристическое уравнение

.

Корни характеристического уравнения вещественные и кратные ₁=₂=1, по­этому общее решение дифференциального уравнения имеет вид

.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение

.

Составим характеристическое уравнение

.

Корни характеристического уравнения комплексные и кратные ₁=₂=1+i и ₃=₄=1i, поэтому общее решение дифференциального уравнения имеет вид

.