Лекция 4.7. Линейные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
4.7.1. Однородное уравнение
Рассмотрим линейное уравнение n-го порядка:
L(y)y(n)+a1y(n1)+ a2y(n2)+…+ an1y+ any=f(x), (4.7.1)
где коэффициенты a1,a2,...,an – постоянные вещественные числа, a f(x) – функция от x, непрерывная в интервале (a, b).
Интегрирование неоднородного уравнения (4.7.1), как было показано, приводится к интегрированию соответствующего однородного уравнения. Поэтому сначала мы изучим вопрос о построении общего решения однородного линейного уравнения
L(y)y(n)+a1y(n1)+ a2y(n2)+…+ an1y+ any =0 (4.7.2)
При этом задача построения общего решения уравнения (4.7.2) будет решена, если мы найдем хоть одну фундаментальную систему решений.
4.7.1.1. Построение фундаментальной системы решений и общего решения однородного линейного уравнения в случае различных корней характеристического уравнения
Будем для однородного линейного уравнения n-го порядка (4.7.2) искать частное решение в виде
y=ex (4.7.3)
где – некоторое, пока неопределенное, постоянное число (вещественное или комплексное).
Подставляя (4.7.3) в левую часть уравнения (4.7.2), т. е. вычисляя оператор L(y) от функции y = ex получим:
L(ex)=(n+a1 n1+a2 n2+…+an1+an) ex=P()ex, (4.7.4)
где
P()=n+a1 n1+a2 n2+…+an1+an . (4.7.5)
Из (4.7.4) ясно, что функция y=ex является решением уравнения (4.7.2), т. е. L(ex)0, тогда и только тогда, когда , является корнем уравнения P()=0 или
P()=n+a1 n1+a2 n2+…+an1+an =0. (4.7.6)
Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими числами однородного линейного уравнения (4.7.2).
Легко видеть, что для составления характеристического уравнения достаточно заменить в уравнении (4.7.2) производную k-гo порядка через k-ю степень , если при этом, как всегда, условиться считать, что производная нулевого порядка от функции есть сама функция, так что при составлении характеристического уравнения нужно заменять y на 1.
Предположим, что все корни характеристического уравнения 1, 2,…, n различны и вещественны. Тогда, мы найдем n вещественных частных решений уравнения (4.7.2):
(4.7.7)
Эти решения, линейно независимы в интервале (, +), и они составляют фундаментальную систему решений. Поэтому, формула
, (4.7.8)
где C1,C2,…,Cn – произвольные постоянные, дает общее решение уравнения (4.7.2) в области
. (4.7.9)
Предположим теперь, что все корни характеристического уравнения по-прежнему различны, но среди них имеются комплексные.
Пусть a+ib – комплексный корень характеристического уравнения. Тогда характеристическое уравнение имеет и сопряженный комплексный корень aib, ибо все его коэффициенты вещественны. Корню a+ib соответствует решение
y=e(a+ib)x. (4.7.10)
Это решение комплексное. Тогда, вещественная и мнимая части решения (4.7.10), т. е. функции
eaxcosbx, eaxsinbx (4.7.11)
также являются решениями уравнения (4.7.2). Эти решения, очевидно, линейно независимы в интервале (,+).
Аналогично сопряженному корню aib соответствуют также два вещественных линейно независимых частных решения:
eaxcosbx, eaxsinbx (4.7.12)
Но первое из них совпадает с
первым из решений (4.7.11), а второе из этих
решений и второе из решений (4.7.11),
очевидно, линейно зависимы, так что
сопряженный корень не порождает новых
вещественных линейно независимых
частных решений. Таким образом, если
все корни характеристического уравнения
различные, но среди них имеются
комплексные, то каждому вещественному
корню k
соответствует решение
,
а каждой паре сопряженных комплексных
корней a± ib,
соответствуют два вещественных линейно
независимых частных решения вида
(4.7.11). В частности каждой паре сопряженных
чисто мнимых корней ±ib
соответствуют два вещественных линейно
независимых частных решения
cosbx, sinbx. (4.7.13)
Всего мы получим n вещественных решений вида:
, eaxcosbx, eaxsinbx, (4.7.14)
которые образуют фундаментальную систему решений.
Пользуясь основной теоремой мы получаем общее решение уравнения (4.7.2) в области (4.7.9) в виде линейной комбинации всех частных решений (4.7.14) с произвольными постоянными коэффициентами C1,C2,…,Cn. При этом вещественному корню k в общем решении соответствует выражение Cke а двум сопряженным комплексным корням aib соответствует выражение вида
eax (C1cosbx + C2sinbx). (4.7.15)
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения
Составим характеристическое уравнение:
.
Найдем его корни
1=0; 2=2; 3=3.
Корни характеристического уравнения вещественные и различные, поэтому общее решение дифференциального уравнения
.
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение
Составим характеристическое уравнение
Найдем корни характеристического уравнения 1,2=23i.
Корни комплексно-сопряженные,
поэтому решение дифференциального
уравнения имеет вид
.