4.6.3. Неоднородные линейные уравнения
Рассмотрим теперь неоднородное уравнение
L(y)y(n)+p1(x) y(n1)+ p2(x) y(n2)+…+ pn1 (x) y+ pn(x)y=f(x). (4.6.27)
Относительно коэффициентов p1(x),…,pn(x) и правой части f(x), мы предполагаем, что они непрерывны в интервале (a, b).
Предположим, что для уравнения (4.6.27) нам удалось найти частное решение y1, так что мы имеем тождество
, (4.6.28)
или
L(y1)f(x). (4.6.28)
Введем новую независимую функцию z по формуле
y=y1+z. (4.6.29)
Подставляя функцию (4.6.29) в уравнение (4.6.27), получим:
L(y1+z)=f(x).
Но L(y1+z)=L(y1)+L(z) так что мы имеем
L(y1)+L(z)=f(x), (4.6.30)
откуда в силу (4.6.28), находим, что z должна удовлетворять уравнению
L(z)=0. (4.6.31)
Это уравнение называется однородным линейным уравнением n-го порядка, соответствующим неоднородному уравнению (4.6.27).
Общее решение однородного уравнения (4.6.31), как было установлено, дается формулой
z=C1z1+C2z2+…+Cnzn, (4.6.32)
где z1,z2,...,zn – некоторая фундаментальная система решений этого уравнения, а C1,C2,… произвольные постоянные.
Подставляя (4.5.32) в (4.6.29), получаем:
. (4.6.33)
Все решения уравнения (4.6.27) содержатся в формуле (4.6.33). Эта формула представляет собою общее решение уравнения (4.6.27) в области
(4.6.34)
т. е. во всей области задания уравнения (4.6.27).
Таким образом, для нахождения общего решения неоднородного уравнения (4.6.27) достаточно найти одно какое-нибудь частное решение этого уравнения и прибавить к нему общее решение соответствующего однородного уравнения (4.6.31).
4.6.4. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
Покажем, что общее решение неоднородного уравнения (4.6.27) можно найти в квадратурах, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения (4.6.31).
Будем искать общее решение уравнения (4.6.27) в таком же виде, как и общее решение соответствующего однородного уравнения (4.6.31), заменяя произвольные постоянные некоторыми непрерывно дифференцируемыми функциями от x, т. е. положим:
y=C1(x)z1+C2(x)z2+…+Cn(x)zn, (4.6.35)
где z1,z2,...,zn – некоторая фундаментальная система решений уравнения (4.6.31).
Выберем функции C1(x),C2(x),...,Cn(x) так, чтобы функция y, определяемая формулой (4.6.35), была общим решением уравнения (4.6.27).
Искомые функции C1(x),C2(x),...,Cn(x) обязательно должны быть подчинены только одному соотношению, которое получается в результате подстановки функции (4.6.35) в уравнение (4.6.27). Остальные (n – 1) условий необходимых для определения этих функций мы можем выбрать по своему усмотрению.
Чтобы получить систему для определения Ci(x) наиболее простой, мы будем, вычисляя последовательные производные y,...,y(n1) от выражения (4.6.35), всякий раз полагать равной нулю совокупность членов, содержащих Ci(x). Таким образом, мы придем к следующим равенствам:
(4.6.36)
Подставим эти значения y, y, y",....y(n1), y(n) в уравнение (4.6.27). Для этого умножим равенства (4.6.36) соответственно на pn(x), pn–1(x),pn–2(x),…,p1(x), 1 сложим почленно и приравняем правую часть полученного равенства правой части уравнения (4.6.27):
Так как L(zl)=L(z2)= ... =L(zn) 0, то последнее равенство перепишется так:
.
Таким образом, для определения Ci (x) получаем следующую систему дифференциальных уравнений:
(4.6.37)
Система (4.6.37) есть алгебраическая линейная неоднородная система относительно Ci(x). Разрешая эту систему относительно Ci(x) (что возможно, ибо ее определитель, будучи равным W(x), отличен от нуля во всем интервале (a, b)), находим:
(4.6.38)
где Wni(x)
– алгебраическое дополнение элементов
n-й
строки определителя W(x).
Все функции
непрерывны в интервале (a,
b),
Из равенств (4.6.37) находим:
где Ci – произвольные постоянные.
Подставляя найденные значения функций Ci(x) в формулу (4.6.35), получим:
(4.6.39)
Полагая здесь C1=C2=...=Cn=0, получим (частное) решение неоднородного линейного уравнения (4.6.27):
(4.6.40)
так что (4.6.40) можно записать в виде (4.6.33) и, следовательно, решение, определяемое формулой (4.6.39), есть общее решение уравнения (4.6.27) в области (4.6.34).
Таким образом, для нахождения общего решения неоднородного уравнения (4.6.27) достаточно построить фундаментальную систему решений соответствующего ему однородного уравнения (4.6.31), после чего общее решение уравнения (4.6.27) найдется в квадратурах.