Лабораторная работа №2 Цепи однофазного переменного тока (последовательное соединение)

Цель работы. Исследовать электрическую цепь переменного тока, содержащую последовательно соединенные сопротивления R_К , Х_L (катушка) и Х_С (конденсатор), а также исследовать явление резонанса напряжений.

Краткие теоретические сведения

В настоящей работе рассматриваются цепи переменного тока, состоящие из последовательно включенных индуктивной катушки и батареи конденсаторов. Реальная катушка характеризуется активным сопротивлением R_К и индуктивным сопротивлением

Х_L = ω∙L, (9)

где ω – угловая частота переменного тока, рад/с, L – индуктивность катушки, Гн.

Батарея конденсаторов характеризуется емкостным сопротивлением

Х_С = , (10)

где C – емкость батареи, Ф.

Схема такой электрической цепи представлена на рис.6.

Рис.6. Цепь переменного тока с последовательным соединением активного, индуктивного и емкостного сопротивлений.

При последовательном соединении катушки и конденсатора ток цепи определяется как

I = = = (11)

где Z - полное сопротивление цепи.

Формула (11) представляет собой выражение закона Ома для цепи переменного тока с последовательным соединением катушки и конденсатора.

В общем случае при наличии в цепи нескольких сопротивлений каждого типа (активных, индуктивных и емкостных) выражение закона Ома для последовательной цепи переменного тока примет вид

I = = (12)

Напряжение на катушке

U_K = I ∙ Z_K = (13)

где Z_K – полное сопротивление катушки.

Напряжение на конденсаторе

U_С = I ∙ Х_С (14)

Активная мощность

P = I ² ∙ R_K . (15)

Если в цепь переменного тока включить только катушку индуктивности с активным сопротивлением R_K и индуктивным сопротивлением Х_L, то ток в цепи определяется как

I = = (16)

Известно, что в активном сопротивлении напряжение и ток совпадают по фазе, а в индуктивном напряжение опережает ток по фазе на 90º.

Векторная диаграмма для реальной катушки индуктивности представлена на рис.7.

Рис.7. Векторная диаграмма электрической цепи с реальной катушкой индуктивности.

Разделив все стороны треугольника напряжений на величину тока I, получим треугольник сопротивлений (рис.8), а умножив на I² – треугольник мощностей (рис.9).

Рис.8. Треугольник сопротивлений для катушки индуктивности

Рис.9. Треугольник мощностей для катушки индуктивности

Очевидно, что все три треугольника подобны, т.е. их углы равны между собой. Сos φ называется коэффициентом мощности цепи, т.к. его величина показывает, какая часть полной мощности S является активной.

cos φ = = = (17)

Расчет параметров катушки индуктивности при измеренных величинах I, V, P осуществляется следующим образом:

1) полное сопротивление катушки из выражения (16) Z_K = , Ом;

2) активное сопротивление катушки из выражения (15) R_K = , Ом;

3) индуктивное сопротивление катушки из треугольника сопротивлений X_L = , Ом;

4) полная мощность S = U∙ I, ВА; (18)

5) коэффициент мощности по выражению (17);

6) реактивная (индуктивная) мощность из треугольника мощностей Q_L = , ВАр;

7) индуктивность катушки из выражения (9)

L = , (19)

где ω = 2πf, f – частота тока в сети, Гц.

Если в цепь переменного тока включить только конденсатор с емкостным сопротивлением Х_С, то выражение закона Ома (11) примет вид

I = = (20)

Известно, что в емкостном сопротивлении напряжение отстает от тока по фазе на 90º.

Векторная диаграмма для конденсатора представлена на рис.10.

Рис.10. Векторная диаграмма электрической цепи с конденсатором.

Из векторной диаграммы можно сделать следующие выводы. Активное сопротивление конденсатора R_C = 0; активная мощность конденсатора Р=0. Полное сопротивление конденсатора равно его реактивному сопротивлению Z_C = X_C = , а полная мощность – реактивной мощности S = Q_C = U∙ I. Коэффициент мощности cos φ = 0.

Емкость конденсатора определяется из выражения (10) с учетом (20) C = .

При последовательном включении катушки индуктивности и конденсаторной батареи получаем электрическую цепь с последовательным соединением активного R_К, индуктивного X_L и емкостного X_C сопротивлений.

В такой цепи можно выделить три характерных режима работы в случаях, когда X_L > X_С , X_L < X_С , X_L = X_С . Векторные диаграммы для этих режимов представлены на рис.11.

а)

б)

в)

Рис.11. Векторные диаграммы цепи переменного тока с последовательным соединением активного, индуктивного и емкостного сопротивлений при: а) X_L > X_С; б) X_L < X_С; в) X_L = X_С.

Векторная диаграмма, представленная на рис.11в, аналогична векторной диаграмме цепи переменного тока с активным сопротивлением в том смысле, что все напряжение, приложенное к зажимам цепи, падает на активном сопротивлении, т.е. U = U_R, векторы напряжения U и тока I совпадают по фазе, угол сдвига между ними φ = 0 и коэффициент мощности cos φ = 1.

Ток при этом будет иметь максимально возможное значение при данной величине приложенного напряжения.

Из выражения (11) при X_L = X_С

I_max = = = (21)

Отсутствие влияния реактивных сопротивлений на величину тока в цепи в этом случае объясняется тем, что при равенстве между собой X_L и X_С равные между собой и смещенные относительно друг друга по фазе на 180º напряжения U_L и U_С взаимно компенсируются.

Режим работы, устанавливающийся в цепи переменного тока с последовательным соединением R, X_L и X_С в случае X_L = X_С называется резонансом напряжений.

Сущность явления резонанса напряжений заключается в том, что ток в цепи возрастает до максимально возможного, а на зажимах катушки и на обкладках конденсатора возникают напряжения, которые могут в несколько раз превышать общее напряжение, приложенное ко всей цепи.

Частота, при которой в цепи с заданными величинами L и С достигается резонанс напряжений, называется резонансной частотой (ω_Р, f_Р). Ее значение можно определить из условий резонанса Х_L = Х_С

ω_РL = ; ω_р = ; f_Р = (22)

Резонанс напряжений может быть получен изменением угловой частоты переменного тока ω, индуктивности катушки L или емкости конденсаторной батареи С. В данной работе резонанс напряжений получают путем изменения величины емкости.

При увеличении емкости конденсаторной батареи емкостное сопротивление цепи будет уменьшаться в соответствии с выражением (10). Если подобрать значения индуктивности катушки L и начальной емкости конденсаторной батареи С₀ таким образом, чтобы Х_L было меньше, чем Х_С0, то при увеличении емкости общее сопротивление цепи Z в соответствии с выражением (12) будет уменьшаться до того момента, когда Х_С станет равным Х_L, а затем начнет возрастать. При этом ток в цепи в соответствии с выражением (11) будет увеличиваться, достигнет максимума при Х_L = Х_С, а затем начнет уменьшаться. Резонансу напряжений будет соответствовать значение емкости конденсаторной батареи С_Р, при котором ток I максимален (рис.12).

Рис.12. Получение резонанса напряжений

Определение параметров цепи переменного тока с последовательным соединением катушки и конденсатора осуществляется следующим образом.

При заданном значении напряжения, приложенного к зажимам цепи U и при каждом из заданных значений емкости конденсаторной батареи С измеряются величины тока I, напряжения, приложенного к катушке U_K, напряжения, приложенного к конденсатору U_C и активной мощности цепи Р. Остальные параметры цепи являются расчетными величинами.

Активное сопротивление катушки R_K = , Вт.

Полное сопротивление катушки Z_K = , Ом.

Индуктивное сопротивление катушки

Х_L = , Ом.

Очевидно, что сопротивление катушки в процессе проведения лабораторной работы не изменяется, поэтому величины достаточно вычислить один раз.

Емкостное сопротивление конденсатора Х_С = , Ом.

Реактивная (индуктивная) мощность катушки Q_L = I ² ∙ Х_L, ВАр.

Реактивная (емкостная) мощность конденсатора Q_С = I ² ∙ Х_С, ВАр.

Реактивная мощность цепи Q = Q_L - Q_С, ВАр.

Полная мощность цепи S = I ∙ U = = , ВА.

Коэффициент мощности цепи cos φ =

Угол сдвига фаз между током и напряжением φ = arсcos ,

Падение напряжения на активном сопротивлении катушки U_R = I ∙ R_K, В.

Падение напряжения на индуктивном сопротивлении катушки U_L = I ∙ X_L, В.