2. Базис векторного геометрического пространства

1. Базис векторов прямой. Множество V₁ векторов фиксированной прямой образует векторное пространство.

Теорема 1. Любой ненулевой вектор e прямой образует базис векторного пространства V₁.

Доказательство. По свойству 3 § 2 вектор e образует линейно независимую систему. Пусть a  V₁. Тогда по свойству линейной зависимости вектор a линейно выражается через вектор e. По определению 1 вектор e образует базис пространства V₁.

Теорема 2. Векторы a и b коллинеарны тогда только тогда, когда они линейно зависимы.

Доказательство. Пусть вектора a и b коллинеарны. Если a = 0, то по свойству 3 § 3 вектора a, b линейно зависимы. Если a  0, по теореме о линейной зависимости систем векторов вектор b линейно выражается через вектор a, и векторы a, b линейно зависимы.

Обратно, если векторы a, b линейно зависимы, то по свойству 1 § 3, один из этих векторов линейно выражается через другой и вектора a и b коллинеарны.

Следствие 1. Векторы a и b коллинеарны тогда только тогда, когда они линейно зависимы.

Векторы a и b неколлинеарны тогда только тогда, когда они линейно независимы.

В силу предложений, полученных в предыдущем параграфе, получаем следующие следствия.

Следствие 2. Векторы a = (₁, ₂,... ,_n), b = (₁, ₂,... ,_n) неколлинеарны тогда только тогда, когда ранг матрицы

, (12)

составленной из координат векторов, равен 2. Векторы a и b коллинеарны тогда и только когда ранг матрицы (12) равен 1.

Ранг матрицы (12) равен 1 тогда и только тогда, одна из строк матрицы получается из другой строки, умножением на одно и то же число. Поэтому получаем еще следующее утверждение.

Следствие 2. Векторы a = (₁, ₂,... ,_n), b = (₁, ₂,... ,_n) неколлинеарны тогда только тогда, когда координаты векторов соответственно пропорциональны, т.е.

, (13)

г де предполагается, что числитель равен нулю, если знаменатель равен нулю.

2. Базис векторов на плоскости. Множество V₂ векторов фиксированной плоскости образует векторное пространство.

Теорема 3. Любая упорядоченная система двух неколлинеарных векторов a, b  V₂ образуют базис векторного пространства V₂.

Доказательство. Пусть a и b неколлинеарные вектора плоскости. По следствию 2 теоремы 2 векторы a и b образует линейно независимую систему. Пусть с  V₂. Отложим векторы a, b и с от точки O: a = , b = и с = (см. рис. 17). Проведем через точку C прямую l, параллельную прямой OB. Так как векторы a и b неколлинеарны, то прямые OA и l пересекаются в точке D. Тогда = + . Так как векторы и соответственно коллинеарны векторам a и b, то по свойству линейной зависимости они соответственно линейно выражается через векторы a и b: = a, = b. Поэтому с = =  a +  b, и по определению 1 вектора a и b образует базис пространства V₂.

По теореме 3 базис векторов на плоскости образуют любые два неколлинеарные вектора, поэтому любой вектор на плоскости имеет две координаты. Тогда справедливо следующее утверждение.

Следствие 1. Вектора a = (₁, ₁), b = (₂, ₂) образуют базис векторов плоскости тогда и только тогда, когда

= 0.

Теорема 4. Векторы a, b и с компланарны тогда только тогда, когда они линейно зависимы.

Д оказательство. Пусть вектора a, b и с компланарны. По определению они могут быть изображены на одной плоскости . Если вектора a, b коллинеарны, то по следствию 1 теоремы 2 они линейно зависимы. Тогда по свойству по свойству линейной зависимости вектора a, b, с линейно зависимы. Если вектора a, b неколлинеарны, то по теореме 3 они образуют базис векторов плоскости . Тогда вектор с линейная комбинация векторов a, b, и по свойству линейной зависимости векторы a, b, с линейно зависимы.

Обратно, если векторы a, b, с линейно зависимы, то по свойству линейной зависимости, один из этих векторов линейно выражается через два другие. Тогда вектора могут быть изображены одной плоскости и поэтому коллинеарны.

Следствие 1. Векторы a, b и с некомпланарны тогда только тогда, когда они линейно независимы.

2. Базис векторов пространства. Рассмотрим множество V₃ всех векторов пространства.

Теорема 5. Любая упорядоченная система трех некомпланарных векторов a, b, с  V₃ образуют базис векторного пространства V₃.

Доказательство. Пусть a, b, с некомпланарные векторы. По следствию 1 теоремы 8 они образует линейно независимую систему. Пусть d  V₃. Отложим векторы a, b, с и d от точки O: a = , b = , с = , d = (см. рис. 18). Проведем через точку D прямую l, параллельную прямой OD. Так как векторы a, b, с некомпланарны, т о прямая l пересекает плоскость OAB в точке E. Тогда = + . Так как векторы лежит в плоскости OAB, а вектора образуют базис векторов этой плоскости, то по теореме 7 =  a +  b, где ,   R. Так как вектор коллинеарен вектору c, то по теореме 8 § 1 он линейно выражается через вектор с: =  с. Поэтому d = =  a +  b +  с и по определению 1 вектора a, b, с образует базис пространства V₃.

По теореме 5 базис векторов на пространстве образуют любые три некомпланарные вектора, поэтому любой вектор в пространстве имеет три координаты. Тогда справедливо следующее утверждение.

Следствие 1. Вектора a = (₁, ₁, ₁), b = (₂, ₂, ₂), с = (₃, ₃, ₃) образуют базис векторов пространства тогда и только тогда, когда

= 0.

Теорема 6. Любые четыре вектора a, b, с, d в пространстве линейно зависимы.

Доказательство. Если векторы a, b, с компланарны, то по теоремы 5 они линейно зависимы. Тогда по свойству линейной зависимости по свойству 4 § 3 вектора a, b, с, d линейно зависимы. Если вектора a, b, с некомпланарны, то по теореме 5 они образуют базис векторов пространства. Тогда вектор d линейная комбинация векторов a, b, с и по свойству линейной зависимости векторы a, b, с, d линейно зависимы.

Задача 1. Доказать что векторы a = (1, 2, 0), b = (3, 2, 1), с = (0, 1, -1) образуют базис в пространстве и выразить вектор d = (5, 5, 2) через векторы базиса.

Решение. Так как определитель

,

то векторы a, b, с образуют базис пространства V₃.

Для того, чтобы найти координаты вектора d в базисе a, b, с составим векторное уравнение

x a + y b + z c = 0. (14)

и запишем его в координатной форме:

Решаем эту систему линейных уравнений: x = 2, y = 2, z = -1 и находим d = 2a + b - с.