II. Теоретическая часть.

Для решения задачи используется аппарат марковских процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Исходя из варианта задания (будем рассматривать на примере ва­рианта 2) можно в системе ВК выделить следующие состояния:

S1 - в ВК исправны все 4 процессора;

S2 - в ВК исправно'3 процессора;

S3 - в ВК исправно 2 процессора;

S4 - ВК неисправен.

Для уяснения общей логики функционирования ВК строится разме­ченная сеть Петри, которая определяет динамику и причино- следственные связи при работе ВК.

Рис. 1а.

Переходы t1-t6 определяют события, наступившие в процессе функ­ционирования ВК.

В S1 могут сработать два перехода: t1 - вышел из строя 1 про­цессор, t3 - вышло из строя 2 процессора.

В S2 cрабатывают: t4- выходит иэ строя 1 процессор, t6 - выхо­дит из строя 2 процессора, t2 - восстановлен 1 процессор.

В S3: t5- восстановлен 1 процессор, t7 - вышел из строя 1 про­цессор.

В S4: t4- восстановлен 1 процессор.

Исходным состоянием ВК является состояние S1, что соответствует маркировке m=(1,0,0,0). Перемещение маркера по сети определяет логику функционирования ВК,

Исходя ив условий функционирования ВК можно перейти к графу состояний системы.

Размеченный граф состояний системы получается ив маркированной сети Петри путем ликвидации переходов и приписывании дугам соответс­твующих интенсивностей.

Рис.1б.

Используя размеченный граф состояний, можно найти все вероят­ности нахождения системы в том или ином состоянии. Для этого составляются и решаются уравнения Колмогорова

Более удобно систему уравнений записать в матричном виде:

Λ - матрица интенсивностей переходов.

, где ,

Правила составления матрицы интенсивностей переходов:

Λ11 - "интенсивность" того, что система останется в первом сос­тоянии. Она равна сумме интенсивностей всех выходящих из S1 дуг, взятых с противоположным знаком;

λ21 - интенсивность перехода из S2 в S1.

Аналогичным образом заполняются и другие интенсивности перехо­дов.

Для финальных вероятностей, когда рi = const, а их производные равны 0, система примет вид:

О - нулевая матрица-столбец 0 = ( 0000 )^т, Для решения системы проведем преобразования:

, Где матрица, у которой элементы пос­ледней строки равны 1.

Последнее преобразование позволяет учесть условие нормировки. Решение в матричном виде имеет вид:

Для приведенного примера примем: μ1=2, λ1=1 ,λ2=3. Тогда

. Решив данную систему, получим:

Р1=0.07, Р2=0.14, Р3=0.386, Р4=0.404.

Можно сделать вывод, что ВК большую долю времени будет нахо­диться в состоянии S3 (исправно всего 2 процессора) – 39%, и в состо­янии S4 (неисправном состоянии) - 40%.

Увеличивал интенсивность восстановления, или уменьшая интен­сивность выхода процессоров из строя можно обеспечить требуемое вре­мя пребывания в исправном состоянии.

Целью 1 части лабораторной работы является исследование исправности ВК и определение интенсивности восстановления, а также выработке предложений по использованию процессоров с большой наработкой на от­каз.

Задание 2. Определение основных структурно-топологических характеристик.

Имеется структура информационной системы (каждому студенту задается своя), приведенная на рис.3

Рис.3

Необходимо рассчитать основные структурно-топологические характеристики.

1. Матрицу достижимости

, где -матрица смежности.

2. Матрицу суммарных чисел маршрутов

.

3.Коэффициент достижимости

.

4.Коэффициент связности

,

и дополнительно коэффициент избыточности .

5. Сложность структуры

.

6. Степень централизации (централизованности)

,

где - сумма дуг входящих и выходящих их вершины,

=max

III. Порядок проведения лабораторной работы

2.1. Каждый студент получает индивидуальное задание на лабораторную работу в виде одного варианта (табл. 1).

2.2. Уясняет суть функционирования ВК_, а также логику выхода и восстановления ВК в процессе работы.

2.3. В соответствии с логикой функционирования ВК составляется размеченный граф состояний системы (пример на рис,I).

2.4. По графу состояний ВК составляется матрица интенсивностей переходов ив состояния в состояние, которая вводится в компьютер как исходная информация.

2.5. Результатом решения задачи на компьютере является вектор финальных вероятностей р^т=(p1,p2,…,pk) с помощью которого определяется математическое ожидание пребывания ВК в том или ином состоянии Т_к=Т*Pк» где Т - общее время функционирования ВК.