5. Обратная матрица

Матрица называется обратной для квадратной матрицы , если .

Квадратная матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Такие матрицы называются невырожденными. Невырожденная матрица имеет единственную обратную

,

где – алгебраическое дополнение элемента матрицы .

Пример 8. Найти матрицу, обратную к матрице .

Решение. Вычислим определитель матрицы :

. Значит матрица невырожденная и имеет обратную. Находим

.

Для проверки правильности вычислений полезно убедиться, что для найденной матрицы верно равенство .

2. Системы линейных уравнений

   1. Решение систем линейных уравнений

Система линейных уравнений имеет вид

где – коэффициенты при неизвестных, – свободные члены. Матрицы

называют соответственно матрицей и расширенной матрицей системы.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система имеет либо одно тогда она называется определенной, либо бесконечно много решений тогда – неопределенной. Система уравнений, не имеющая решений, называется несовместной.

Рассмотрим метод Гаусса решения системы линейных уравнений на конкретном примере.

Пример 9. Решить систему

Решение. Избавимся от переменной во втором и третьем уравнениях. Для этого сначала домножим первое уравнение на -1 и прибавим ко второму, а потом домножим первое на 2 и прибавим к третьему.

Отсюда

.

Можно сделать те же преобразования с расширенной матрицей системы:

.

Пример 10. Решить систему

Решение. Поменяем местами первую и вторую строки, запишем расширенную матрицу системы. Затем исключим переменную из второго и третьего уравнения.

.

Отсюда

.

Положив и , получим

.

Пример 11. Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трех видов: сапог, кроссовок и ботинок; при этом используется сырье трех типов: , , . Нормы расхода каждого из них на изготовление одной пары обуви и объем расхода сырья за один день заданы в таблице.

Вид сырья	Нормы расхода сырья на изготовление одной пары, усл.ед.			Расход сырья за один день, усл.ед.
	сапог	кроссовок	ботинок
	5 2 3	3 1 2	4 1 2	2700 800 1600

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви.

Решение. Пусть ежедневно фабрика выпускает пар сапог, пар кроссовок и пар ботинок. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему

При решении системы методом Гаусса имеем

.

Отсюда

.

Итак, фабрика выпускает 200 пар сапог, 300 пар кроссовок и 200 пар ботинок.

2. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

Пусть имеется отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год). Введем следующие обозначения:

– общий (валовой) объем продукции -ой отрасли;

– объем потребления -ой отраслью продукции -ой отрасли;

– коэффициенты прямых затрат, показывающие затраты продукции -ой отрасли на производство единицы -ой отрасли;

– объем конечного продукта -ой отрасли для непроизводственного потребления.

Так как валовой объем продукции -ой отрасли равен суммарному объему ее продукции, потребляемой всеми отраслями, и конечного продукта, то

.

(1)

Уравнения (1) называются соотношениями баланса.

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого валового объема продукции для каждой из отраслей, который при известных прямых затратах обеспечивает заданный конечный продукт.

В матричной форме система (1) имеет вид

.

(2)

Она имеет ряд особенностей: прежде всего все элементы матрицы и компоненты и должны быть неотрицательными.

Матрица , все элементы которой неотрицательны, называется продуктивной, если для любого с неотрицательными компонентами существует решение уравнения (2) – , все элементы которого неотрицательны. В таком случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Перепишем систему в виде , откуда

.	(3)

Матрица называется матрицей полных затрат. Каждый элемент матрицы есть величина валового выпуска продукции -ой отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта -ой отрасли.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы . Приведем два из них.

Первый критерий продуктивности. Матрица продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и ее элементы неотрицательны.

Второй критерий продуктивности. Матрица с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы: , причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.

Наряду с валовой и конечной продукциями в межотраслевом балансе рассматривается чистая продукция отрасли – разность между валовой продукцией этой отрасли и продукцией всех отраслей на производство этой отрасли.

Пример 12. В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период, ден.ед.

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли		Конечный продукт	Валовой выпуск
	Энергетика	Машиностроение
Энергетика Машиностроение	7 12	21 15	72 123	100 150

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроения сохранится на прежнем уровне. Найти чистую прибыль отраслей.

Решение. Имеем =100, =150, =7, =21, =12, =15; =72, =123.

Находим коэффициенты прямых затрат: =0,07, =0,14, =0,12, =0,10, т.е. матрица прямых затрат имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности: .

Поэтому для любого конечного продукта можно найти необходимый объем валового выпуска по формуле (3).

Найдем матрицу полных затрат : . Так как , .

По условию , тогда по формуле (1) получаем валового выпуска

,

т.е. валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179,0 ден.ед., а в машиностроительной – до 160,5 ден.ед.

Из =179 ден.ед. валовой продукции энергетики на внутрипроизводственное потребление двух рассматриваемых отраслей (энергетики и машиностроения) уйдет соответственно ден.ед. и ден.ед., так что чистая продукция энергетики составит ден.ед. Аналогично, из =160,5 ден.ед. валовой продукции машиностроения на внутрипроизводственное потребление уйдет соответственно ден.ед. и ден.ед., так что чистая продукция машиностроения составит ден.ед.