Действия над матрицами
Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций, причем некоторые из них аналогичные операциям над числами, а некоторые – специфические.
Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число. Например,
.
Суммой
матриц 
и 
одинаковых
размерностей называется матрица,
элементы которой равны сумме элементов
матриц А
и В,
расположенных на соответствующих
местах. Например,
.
Пример
1.
В некоторой отрасли 4 завода выпускают
3 вида продукции. Матрица
задает объемы продукции на каждом заводе
в первом квартале, матрица
– во втором; 
– объемы продукции -го типа на
-ом
заводе в первом и втором кварталах
соответственно: 
.
Найти: а) объемы продукции; б) прирост объемов производства во втором квартале по сравнению с первым по видам продукции и заводам.
Решение.
а) Объемы продукции за полугодие
определяются суммой матриц А
и В,
т.е. 
,
где 
–
объемы продукции -го типа, произведенный
за полугодие
-ым
заводом.
б)
Прирост во втором квартале по сравнению
с первым определяется разностью матриц
.
Отрицательные
элементы 
матрицы 
показывают, что на данном заводе
объем производства -го продукта
уменьшился; положительные
– увеличился; нулевые
– не изменился.
Умножение
матрицы
на матрицу
определено, когда число первой равно
числу
строк второй. При этом произведением
матрицы А
порядка
на матрицу В
порядка 
называется матрица 
порядка
,
элементы 
которой вычисляются как сумма произведений
элементов -ой строки матрицы
и
-го
столбца матрицы
:
.
Пример 2. Вычислить произведение матриц А и В, где
.
Решение.
По определению находим элементы матрицы
как произведение соответствующих строки
и столбца матриц
и
.
Пример 3. Предприятие производит 3 типа продукции, объемы выпуска заданы матрицей . Цена реализации единицы -го типа продукции в -ом регионе задана матрицей . Число регионов, в которых реализуется продукция равно 4. Найти матрицу выручки по регионам, если
.
Решение.
Выручка определяется матрицей 
,
причем 
– это выручка предприятия в -ом регионе:
.
Пример
4. Предприятие
производит 3 типа продукции, используя
4 вида ресурсов. Нормы затрат ресурса
-го вида на производство единицы продукции
-го
типа заданы матрицей затрат
.
Значения стоимости каждого вида ресурса
в расчете на единицу заданы матрицей
.
Пусть за определенный промежуток времени
предприятие выпустило количество
продукции каждого типа 
,
заданное матрицей 
.
Определить
–
матрицу полных затрат ресурсов каждого
вида на производство всей продукции за
данный период времени и полную стоимость
всех затраченных ресурсов, если
.
Решение.
Матрица полных затрат ресурсов
определяется как произведение матриц
и
,
т.е. 
.
Согласно условию задачи
,
т.е. за данный период времени будет израсходовано 930 ед. ресурса первого вида, 960 ед. ресурса второго вида, 450 ед. ресурса третьего вида и 630 ед. ресурса четвертого вида.
Стоимость
всех затраченных ресурсов
определяется как произведение матриц
и
,
или 
.
В
данном случае 
Переход
от матрицы
к матрице 
,
в которой строки и столбцы поменялись
местами с сохранением порядка, называется
транспонированием
матрицы
.
Матрица
называется транспонированной
относительно матрицы
.
Например,
.