2. Формула трапеций.

Сложим первую и вторую формулы прямоугольников и разделим пополам. Получим формулу трапеций

Поясним название формулы. Приблизим площадь под графиком функции на отрезке площадью трапеции . Суммируя площади по всему отрезку интегрирования, получим

Аппроксимируем функцию кусочно – линейной функцией, значения которой совпадают с значениями функции в точках разбиения. Площадь под графиком кусочно – линейной функции на отрезке составит

. Суммируя площади по всему отрезку интегрирования, получим вновь формулу трапеций.

Можно показать, что формула трапеций – формула второго порядка точности. Погрешность вычисления интеграла с помощью этой формулы (это можно показать) не превышает , т.е. в два раза больше, чем по третьей формуле прямоугольников.

3. Формула Симпсона.

Аппроксимируем функцию на отрезке разбиения квадратичной функцией так, чтобы

Лемма. .

Докажем лемму для . Сделаем замену .

Тогда формула сведется к следующей:

.

Левая часть

Правая часть . Лемма доказана.

Разобьем теперь отрезок интегрирования на 2n частей, ( ). Применим лемму к отрезкам , ,..., получим формулу Симпсона

.

Можно показать, что формула Симпсона – формула четвертого порядка точности, ее погрешность не превосходит , где . Это означает, что при интегрировании многочлена третьей степени формула Симпсона точна, ее погрешность равна нулю.

30. Вопрос

Геометрический смысл двойного интегралаВернемся к задаче об объеме цилиндрического тела. Так как рассматриваемая там функция  непрерывна в замкнутой области , то

каковы бы ни были точки  в замкнутых областях . Выбирая за  точки, в которых функция  в областях  достигает своих наименьших (m_i) или соответственно наибольших (M_i) значений, будем, в частности, иметь:

Слагаемые  и  равны объемам цилиндров с основанием  вписанных и описанных вокруг ограниченного сверху куском поверхности S цилиндрического столбика с тем же основанием . Суммы  и  равны соответственно объемам «вписанных» и «описанных» вокруг данного цилиндрического тела V тел, состоящих из n прямых цилиндров. Так как при  эти объемы имеют общий предел, данное тело кубируемо и его объем V равен двойному интегралу:

Отсюда следует геометрический смысл двойного интеграла: двойной интеграл   от неотрицательной, непрерывной в замкнутой области  функции  равен объему цилиндрического тела с основанием   в плоскости XOY, ограниченного сверху поверхностью

В частности, если  в области , то цилиндрическое тело представляет собой цилиндр с основанием  высоты . Его объем численно равен площади основания . Таким образом, мы получаем уже известную формулу для вычисления площади области  с помощью двойного интеграла  или, что то же, .

Если неположительная функция   непрерывна в области , то, воспроизводя рассуждения, приведенные в начале главы, получим, что двойной интеграл  равен взятому со знаком минус объему цилиндрического тела, ограниченного сверху областью  плоскости XOY, снизу – поверхностью , сбоку – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ.

Предположим теперь, что функция  непрерывна в области , причем область  можно разбить на конечное число, частей  в каждой из которых функция  либо неотрицательна, либо неположительна. Тогда, заменяя двойной интеграл от функции  суммой интегралов по областям  заключаем, что двойной интеграл  равен алгебраической сумме объемов цилиндрических тел с образующими, параллельными оси OZ, ограниченных с одной стороны частями поверхности , с другой стороны – соответствующими областями  плоскости XOY. В эту сумму объемы тел, лежащих над плоскостью XOY, входят со знаком плюс, а объемы тел, лежащих под плоскостью XOY, входят со знаком минус.

Указанные соображения используются при вычислении объемов тел с помощью двойных интегралов.

Свойства двойного интеграла. Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла:

Линейность:   . Аддитивность: , если S1 и S2 две области без общих внутренних точек.

Если для каждой точки  выполнено неравенство  , то .

Если  интегрируема на , то функция   также интегрируема, причем .

Если  и  наименьшее и наибольшее значения функции в области, а ее  площадь, то .

Теорема о среднем значении: если  непрерывна в связной области , то существует, по крайней мере, одна точка такая, что   .

-----------------