- •Экономико - математические методы и модели
- •Экономико-математические методы в планировании и управлении производством.
- •1. Роль математического моделирования в экономической теории и практике:
- •2. Понятие модели и моделирования:
- •3. История развития экономико-математического моделирования:
- •Межотраслевой балансовый метод
- •7. Равновесные цены в межотраслевом балансе:
- •Динамическая модель межотраслевого баланса
- •Перепишем систему (1) через коэффициенты
- •Матричные модели на предприятии
- •Методологические проблемы разработки межотраслевого баланса
- •Оптимальные модели. Линейное програмирование в оптимальном планировании
- •Алгоритм симплексного метода
- •Оптимальное планирование и оптимальные оценки
- •Нахождение исходного опорного плана
- •Расчет оптимальной производственной мощности
- •Анализ производственной программы с использованием оптимальных моделей
- •Оптимальное использование взаимозаменяемых ресурсов
- •Модели оптимального раскроя промышленных материалов
- •Модели оптимального составления смеси (сплава)
- •Бензин а – 76, октановое число не ниже 76, сера не более 0,3 %
- •Модели транспортной задачи
- •Целевая функция (1), ограничение (2), (3) со знаком
- •Модели оптимального планирования, развития и размещения производства
- •Однофакторные модели экономического развития
- •Статистический анализ и прогнозирование экономических показателей (Лабораторная работа № 4)
- •Многофакторные модели экономического развития
- •Множественная корреляция. (лабораторная работа № 5)
- •Оптимизационные модели на макроуровне
Оптимизационные модели на макроуровне
1. Модели opt планирования народного хозяйства;
2. Анализ содержания и структуры статической модели opt планирования;
3. Взаимосвязь прямой и двойственной задач opt планирования;
4. Оценки технологических способов производства;
5. Оценки ресурсов и оценки продукции в opt планировании и их использование;
6. Оpt модели межотраслевого баланса.
1. Модели opt планирования народного хозяйства
Оптимальная модель отличается от балансовой тем, что:
1) предусматривает производство продукции различными способами (например. Получение электроэнергии);
2) рассматривает комплексные производства, когда при испытании какого-либо технологического способа получается несколько видов продукции.
Для производства нужны ресурсы, которые мы поделим на виды:
1, 2, … i … m – ресурсы;
1, 2, … j … n – технологические способы;
1, 2, … p… r – виды продукции.
Если технологический способ существует, то он определен своими затратами и результатами производства. Каждому технологическому способу ставится в соответствии вектор:
где aij – коэффициенты затрат; bpj – коэффициенты выпуска продукции; p = , i = , j = .
Продукцию необходимо выпускать в заданном ассортименте в соотношении: (k1, k2, … kp … kr) – коэффициенты, характеризующие удельный вес продукции р в общем объеме выпускаемой продукции, или это количество продукции р в 1 наборе (комплекте).
Необходимо, чтобы расчет был в натуральном выражении.
Bi – объем i-того ресурса – ограничение.
Задача: выбрать среди всех существующих технологических способов с целью max выпуска продукции заданной структуры при ограниченных ресурсах.
Статическая модель opt планирования (за 1 год):
Ресурсы, продукция |
Технологические способы |
Ограничения |
|||
1 |
2 |
… |
n |
||
1 |
a11 |
a12 |
… |
a1n |
B1 |
2 |
a21 |
a22 |
… |
a2n |
B2 |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
m |
am1 |
am2 |
… |
amn |
Bm |
1 |
b11 |
b12 |
… |
b1n |
k1 |
2 |
b21 |
b22 |
… |
b2n |
k2 |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
r |
br1 |
br2 |
… |
brn |
kr |
|
x1 |
x2 |
… |
xn |
|
2. Анализ содержания и структуры статической модели opt планирования
Затраты ресурсов и выпуск продукции даны с единичной интенсивностью.
За единицу интенсивности можно принять выпуск единицы основной продукции; можно единицу времени работы (например, 1 ч); можно затраты принять за единицу.
Интенсивность показывает во сколько раз больше будем получать ресурсы и тратить на другие виды продукции по сравнению с тем, который приняли за 1.
Модель 1. Определить, с какой интенсивностью использовать технологический способ.
Переменные: х1, х2, … хn – интенсивность каждого способа.
Если интенсивность = 0, то способ не принимаем.
z – количество наборов.
F = z max.
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn B1,
…………………………………… (1)
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn Bm,
b11 x1 + b12 x2 + … + b1n xn k1 z,
……………………………………. (2)
br1 x1 + br2 x2 + … + brn xn kr z,
xj 0, z 0.
1-е и 3-е уравнение системы (2) – структура.
В качестве ресурсов берутся природные и трудовые ресурсы (первичные факторы производства).
Продукция – все, что производится = конечная продукция + промежуточная (сырая нефть).
Строка b11 b12 … b1n - характеризует выпуск 1-го вида продукции при различных способах.
Столбец b11 b21 … br1 – характеризует перечень продукции, полученный 1-ым способом.
Если продукция р является результатом производства, то bpj > 0.
Если продукция р при другом технологическом способе является сырьем для производства другого вида продукции, то bpj < 0.
Достоинства модели: все данные в натуральных единицах и есть возможность выбора тех. способов.
Разновидности модели 1:
Модель 2: Задана не структура, а спрос на продукцию у1, у2 … уn
F = max
Ограничение (1),
Модель 3: конечную продукцию можно разделить ур = .
- постоянная часть – min для того, чтобы страна просуществовала, жестко задана цифрой.
- переменная часть – задана структурой (k1, k2, … kr)
F = z max.
Ограничение (1)
,
,
xj 0, z 0.
3. Взаимосвязь прямой и двойственной задач opt планирования;
Прямая задача:
F = z max.
Ограничения на ресурсы:
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn B1, | у1
……………………………………… | …
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn Bm. | уm
Ограничения на количество:
- b11 x1 - b12 x2 - … - b1n xn + k1 z 0, | ym+1
…………………………………………… | …
- br1 x1 - br2 x2 - … - brn xn + kr z 0. | ym+r
xj 0, z 0, j =
Двойственная задача:
Ф = В1 у1 + В2 у2 + … Вm ym min
a11 y1 + … + am1 ym – b11 ym+1 - … br1 ym+r 0,
…………………………………………..
a1n y1 + … + amn ym – b1n ym+1 - … brn ym+r 0,
k1 ym + … kr1 ym+r 1
yi 0, i = .
y1 … ym – отдача от использования дополнительной единицы соответствующего ресурса; оценивают единицу каждого ресурса.
ym+1 … ym+r – оценивают единицу продукции с точки зрения эффективности ее производства. То есть сама величина означает насколько уменьшится z, если количество соответствующей продукции увеличить на единицу по отношению к оптимальному плану.
Эти оценки позволяют анализировать оптимальный план:
1. если xj > 0, то соответственные ограничения двойственной задачи выполняются как строгое равенство.
2. если xj = 0, то соответственные ограничения двойственной задачи выполняются как строгое неравенство >.
3. если уi > 0, то соответственные ограничения прямой задачи выполняются как строгое равенство, т.е. для тех ресурсов, которые полностью потрачены, оценки больше нуля.
4. если уi = 0, то соответственные ограничения прямой задачи выполняются как строгое неравенство.
Для избыточных ресурсов оценка = 0.
Для продукции, произведенной сверхкомплекта = 0.
4. Оценки технологических способов производства
Оценить все способы (и те, которые не вошли в оптимальный план).
Для оценки технологических способов можно использовать первые n неравенств двойственной задачи, коме последнего.
j =
Оптимальный технологический способ: j = 0.
Неоптимальный технологический способ: j > 0 показывает насколько уменьшится z, если соответствующий технологический способ эксплуатировать с единичной интенсивностью. Чем меньше Вj, тем лучше способ.
ПРИМЕР:
Рассмотрим производство 2-х видов продукции А и В при двух видах ограниченных ресурсах: труд, оборудование. Каждый вид продукции может производится двумя технологическими способами. Количество ресурсов ограничено, а продукция должна производится в комплекте (1 : 1), т.е. на каждую продукцию А единица продукции В.
Ресурсы, продукция |
Технологические способы |
ограничения |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
||
Труд |
0,8 |
0,2 |
0,4 |
0,1 |
240 |
Оборудование |
- |
0,1 |
- |
0,2 |
20 |
А |
1 |
1 |
- |
- |
1 |
В |
- |
- |
1 |
1 |
1 |
1-я колонка характеризует 1 технологический способ с единичной интенсивностью.
2-я позволяет получить 1, при этом тратится труда 0,2 и оборудования 0,1.
Определить интенсивность использования каждого способа с целью получения max продукции.
х1 - интенсивность использования 1 способа
- количество продукции А, получаемой 1 способом
х2 - …. 2 способом
- ….. 2 способом
х3
х4
z – количество комплектов.
F = z max.
0,8 х1 + 0,2 х2 + 0,4 х3 + 0,1 х4 240, | у1
0,1 х2 + 0,2 х4 20 | у2
х1 + х2 1 z, | у3
х3 + х4 1 z. | у4
z, x1 … x4 0.
Двойственная задача: Ф = 240 у1 + 20 у2 min
0,8 у1 – у3 0 | х1 | 1
0,2 у1 + 0,1 у2 – у3 0 | х2 | 2
0,4 у1 – у4 0 | х3 | 3
0,1 у1 + 0,2 у2 – у4 0 | х4 | 4
у3 + у4 1 | z |
Т.к. z > 0, то ограничения как строгое равенство.
z = 300; х1 = 100, х2 = 200 (А = 300), х3 = 300, х4 = 0 (В =300).
Нам выгодно использовать 1-ый способ с интенсивностью 100, 2-ой способ – 200, 3-ий – 300, 4-ый способ не выгоден.
Двойственная задача.
Ф = z =300
у1 = 5/6 – оценивает каждый дополнительный чел-час
у2 =5 – оценивает каждый дополнительный машино-час
у3 = 4/6 – оценивают единицу продукции А
у4 = 2/6 – оценивают единицу продукции В
Выгодно у2 = 5, т.к. это дает увеличение комплектов на 5 единиц, если использовать 1 дополнительный машино-час.
Если продукцию А выпускать на единицу больше, то общее число комплектов уменьшится на 4/6. Если В, то на 2/6.
Каждое неравенство характеризует технологический способ.
Подставим у в неравенства двойственной задачи.
1 = 0,8 5/6 – 4/6 = 0
2 = 0,2 5/6 – 0,1 5 – 4/6 = 0
3 = 0,4 5/6 – 2/6 =0
4 = 0,1 5/6 – 2/6 = 3/4
Если использовать 4-ый способ, то количество комплектов уменьшится на 3/4.
5. Оценки ресурсов и оценки продукции в opt планировании и их использование
Для продукции как правило задается структура, т.е. удельный вес. Прямая задача позволяет определить оптимальные технологии. Решив двойственную задачу определяем: у1, у2, … уm – оценка ресурсов.
у1 – на сколько увеличится целевая функция если объем соответствующего ресурса увеличить на единицу – отдача от дополнительной единицы ресурса.
Оценка трудовых ресурсов: в модель они входят дифференцировано, разделены по категориям (инженеры, рабочие, служащие), внутри категории на профессии (столяр, слесарь, бухгалтер), внутри профессии по квалификации (разряд, старший, младший).
И в результате получим двойственные оценки. Для тех видов труда, которые в избытке мы получим нулевую оценку, для дефицитных отличное от нуля. Чем выше оценка, тем эффективнее труд. Для более сложных видов работ оценка увеличивается, для простых небольшая. Сложный труд – длительная подготовка. Эту оценку можно использовать в кадровой политике (переквалификация кадровых ресурсов, открытие новых специальностей и т.д.). С оценкой можно связать и зарплату.
Оценка природных ресурсов: их надо тоже взять дифференцировано: с/х угодия (лучшие, средние, худшие), полезные ископаемые (легко- и труднодобывающиеся).
Худшие ресурсы, как правило, используются неполностью и в модели имеют нулевую оценку. Средние и лучшие природные источники будут иметь оценку отличную от нуля. Чем выше оценка, тем эффективнее природный ресурс, т.е. выше отдача.
А как их использовать? При определении цен, налога на использование природных ресурсов. Но не используя оценку на прямую, а сохранив соотношение.
Оценки продукции: уm+1, … ym+r.
На сколько уменьшится целевая функция, если выпустить дополнительную единицу продукции, т.е. какую продукцию выгодно выпускать, чем меньше оценка тем выгоднее выпускать данную продукцию в данных условиях. Используется в управлении при планировании.
6. Оpt модели межотраслевого баланса.
В Межотраслевом балансе не было выбора, т.к. не рассматривались различные технологии. Межотраслевой баланс можно рассматривать как частный случай оптимальной модели на макроуровне.
Межотраслевой баланс отражает производство и распределение.
Рассмотрим балансовую модель:
n – отраслей (которая что-то производит и потребляет).
i = 1 … n – номер отрасли.
хi – объем производства i-ой отрасли.
хi – , где xi – объем; aij – затраты на производственные нужды; yi – конечная продукция (потребление), спрос.
Уравнений сколько отраслей.
Затраты трудовых ресурсов , L – общее количество занятых людей.
Оптимальная модель: z = min трудовых затрат.
хi – – удовлетворим спрос
хi 0
Недостаток: может получится, что по некоторым отраслям объем хi больше Ni – их мощности, т.е. она не реальна. Поэтому в оптимальную модель включают объем производимой продукции по некоторым отраслям. Но не для всех, а то оптимальности не будет.
хi Ni , i ;
хi 0.
Ограничения определяются в процессе решения. Конечную продукцию можно задать в виде структуры, т.е. коэффициентов.
(k1, k2, … kr) – удельный вес единицы в общем объеме, т.е. спрос можно жестко не задавать.
z – число комплектов.
F = z max
хi –
хi Ni , хi 0.
В балансовой модели учитываются мощности, задана структура и хотим max.