- •Экономико - математические методы и модели
- •Экономико-математические методы в планировании и управлении производством.
- •1. Роль математического моделирования в экономической теории и практике:
- •2. Понятие модели и моделирования:
- •3. История развития экономико-математического моделирования:
- •Межотраслевой балансовый метод
- •7. Равновесные цены в межотраслевом балансе:
- •Динамическая модель межотраслевого баланса
- •Перепишем систему (1) через коэффициенты
- •Матричные модели на предприятии
- •Методологические проблемы разработки межотраслевого баланса
- •Оптимальные модели. Линейное програмирование в оптимальном планировании
- •Алгоритм симплексного метода
- •Оптимальное планирование и оптимальные оценки
- •Нахождение исходного опорного плана
- •Расчет оптимальной производственной мощности
- •Анализ производственной программы с использованием оптимальных моделей
- •Оптимальное использование взаимозаменяемых ресурсов
- •Модели оптимального раскроя промышленных материалов
- •Модели оптимального составления смеси (сплава)
- •Бензин а – 76, октановое число не ниже 76, сера не более 0,3 %
- •Модели транспортной задачи
- •Целевая функция (1), ограничение (2), (3) со знаком
- •Модели оптимального планирования, развития и размещения производства
- •Однофакторные модели экономического развития
- •Статистический анализ и прогнозирование экономических показателей (Лабораторная работа № 4)
- •Многофакторные модели экономического развития
- •Множественная корреляция. (лабораторная работа № 5)
- •Оптимизационные модели на макроуровне
Множественная корреляция. (лабораторная работа № 5)
Дана статистика по годам и кварталам. Вариант 85 означает, что нужно взять статистику начиная с 85 г. за 5 лет, по 4 квартала – 20 наблюдений. i = .
yi – производительность труда.
9 факторов: х4 – капиталовложения (по номеру колонки), х5 - фондовооруженность … х13 – коэффициент производительности оборудования.
хi – фактор, i - номер колонки.
Этапы:
1) Выбрать 2-3 существенных фактора:
1.1. Рассчитать коэффициенты корреляции между у и хi:
х4: r = … ,
x5: r = … ,
…….
x13: r = …
Коэффициент корреляции покажет насколько сильно связаны у и хi. Выбираем 6-7 факторов с мах r (r > 0,95).
1.2. Посмотреть экономический смысл показателей, они могут быть близки по смыслу – необходима автокорреляция (например, фондовооруженность и машиновооруженность).
|
x4 |
x6 |
… |
x13 |
x4 |
… |
|
|
|
x6 |
|
… |
|
|
… |
|
|
… |
|
x13 |
|
|
|
… |
Определяем автокорреляцию между 6-7 факторами. Если автокорреляция между двумя факторами высокая r = 0,99, то они дублируют друг друга, один из них убираем. Оставляем 2-3 фактора.
у = f (х4, х12, х13) – на производительность труда в большей степени влияют капиталовожения, коэффициент производительности оборудования …
2) Линейная зависимость: строим модель: у = а0 + а1 х4 + а2 х12 + а3 х13.
3) Спрогнозировать у на I квартал 1990, II квартал 1990
Берем значения факторов из статистики, подставляем в модель и находим расчетное значение и .
Оценка точности прогноза: на сколько расчетные значения ушли от фактических в %:
100%,
Е2 = …
Окончательная точность – средняя между Е1 и Е2. Результаты исследований правильны, если Еср 5%. Если Еср > 5% - то лабораторная работа сделана неверно, необходим пересчет.
3. Коэффициент множественной корреляции. Частный коэффициент множественной корреляции;
Коэффициент множественной корреляции R характеризует степень влияния всех исследуемых факторов на показатель.
R = , где ; - общая средняя; ; - значения, рассчитанные по уравнению регрессии.
R = 1, если уравнение регрессии хорошо описывает статистику и существует сильная связь. Если связь слабая и уравнение регрессии ничего не дает, то R 0. Это сравнительная оценка. R показывает совокупное влияние факторов на исследуемый показатель.
у = f (х1, х2, … хm)
Нужно оценить влияние каждого фактора на исследуемый показатель в данной совокупности факторов х1, х2, … хm. Пусть мы рассматривали 1 фактор, построили зависимость у = f1 (x1). Насколько хорошо построена эта зависимость покажет дисперсия.
, i – номер наблюдения.
Рассмотрим зависимость от двух факторов: у = f2 (x1, х2). Мерой ошибки является дисперсия: .
Если ошибка при построении 2-х факторов намного меньше, чем при одном факторе, то 2-й фактор очень важен и его надо учитывать.
r2 = – коэффициент частной корреляции 2-го фактора
Если r2 1 – значит этот фактор очень важен, х2 включаем в исследование.
Если r2 0 – х2 не используем.
Если исследуется зависимость от 3-х факторов у = f3 (x1, х2, х3). Рассчитаем влияние 2-го фактора в общей совокупности:
r2 = – коэффициент частной корреляции.
4. Понятие предельной эффективности ресурса и эластичности производства
у = f (х1, х2, … хm) – уравнение регрессии.
Влияние фактора на выпуск продукции оценивается двумя показателями:
- средняя эффективность ресурса;
- предельная эффективность ресурса.
Средняя эффективность ресурса – затраты ресурса на единицу выпускаемой продукции (i), i – номер ресурса.
i = хi / y.
ПРИМЕР: у = 9,39 + 0,13 х1 + 0,62 х2
1 = х1 / (9,39 + 0,13 х1 + 0,62 х2) – зависит от двух факторов.
Предельная эффективность ресурса характеризует приращение выпуска продукции при увеличении затрат соответствующего фактора (ресурса) на малую единицу (i), i – номер ресурса.
i = lim (x 0) x / y = f / x - частная производная по хi.
ПРИМЕР: 1 = f / x1 = 0,13.
При изменении фактора х1 на единицу, прирос выпуска составит 0,13 единиц.
Эластичность выпуска по тому или иному фактору – характеризует предел отношения относительно приращения выпуска продукции к относительному приросту фактора (i), i – номер фактора.
i = lim (x 0) (y / y) / (xi / xi) = lim (x 0) (y / xi) (xi / y) = (f / xi) (xi / y),
где f / xi – предельная эффективность i -того фактора.
i показывает на сколько % увеличится выпуск продукции, если затраты соответствующего ресурса (фактора) увеличить на 1%. То же, что и i, только в относительных единицах.
ПРИМЕР: 1 = (f / x1) (x1 / y) = 0,13 (x1 / y).
5. Линейные и степенные производственные функции. Функция Кобба-Дугласа
При построении многофакторных моделей в экономике используют два вида функций: линейная и степенная.
Эти функции непрерывные, имеют производные высоких порядков, их параметры имеют экономический смысл.
Линейная функция: у = f (х1, х2, … хm)
у = а0 + а1 х1 + а2 х2 + … + аm xm (1)
а0 – параметр, не зависящий от влияния рассматриваемых факторов.
a1, а2 … am – предельная эффективность соответствующего фактора (ресурса).
i = у / xi = ai – на сколько увеличится у, если xi увеличить на 1.
i = (у / xi) (xi / y) = ai (xi / y) = ai (xi / а0 + а1 х1 + а2 х2 + … + аm xm) – эластичность изменяется, зависит от всех факторов.
Степенная функция: (2)
При построении этой функции учитываются только те факторы, без которых нельзя обойтись, которые невозможно заменить, т.е. xi 0.
Если xi = 0, то у = 0 (производства нет).
Если вместо статистических данных брать логарифмы: ln у ln x1 ln x2 … ln xm, тогда методом наименьших квадратов можно легко построить зависимость (как линейную)
ln y = ln a0 + 1 ln x1 + … m ln xm.
Смысл параметров:
а0 – характеризует общее совокупное влияние всех факторов.
1, 2, … m – эластичность выпуска по соответствующему фактору.
i = у / xi = a0 i
i = (у / xi) (xi / y) = i.
ПРИМЕР:
Рассмотрим в качестве примера исследование показателя НД = у. Два фактора: С – производственные фонды и L – трудовые ресурсы (численность).
y = f (C, L), y = 43,7 C 0,0827 L 0,9173.
Если трудовые ресурсы увеличить на 1%, то НД увеличится на 0,9173 %.
Обозначим сумму всех степеней: k = 1 + 2 + … m
1) если k = 1, то при увеличении затрат факторов в одинаковое число раз, во столько же раз увеличится исследуемый показатель;
2) Если k > 1, то при увеличении всех факторов в n раз, у увеличивается в более чем n раз – перспектива роста.
3) Если k < 1, то при увеличении факторов производства в n раз, у увеличивается менее, чем в n раз.
Функция Кобба-Дугласа:
Два американских ученых К. Кобб и П. Дуглас рассмотрели 2-х факторную модель:
у = а0
L + C = 1.
6. Динамические производственные функции.
В многофакторную производственную модель можно включать еще и время, тогда она станет динамической.
у = f (х1, х2, … хm, t), t – время как фактор.
L (t) – затраты труда во времени.
C (t) – производственные фонды во времени.
y = f (L (t), C (t), t)
t – отражает влияние всех неучтенных факторов.
А = а0 еt – характеризует научно-технический прогресс, который нельзя точно измерить. Зависимость А от времени очень большая.
A
t
у = а0 еt f (L (t), C (t)).
Чаще всего берут функцию Кобба-Дугласа.
Динамическая модель Кобба-Дугласа:
у = а0 еt
Предварительные исследования: С = С (t) y = 1 (C(t));
L = L (t) y = 2 (L (t)).
ПРИМЕР:
Имея статистику получаем:
у = 1,06 е -0,063 C 1,402 L 0,441 – исследовалась зависимость НД (у) от основных производственных фондов (С) и от численности (L).
Т.к. (-0,063), то научно-технический прогресс ослабевает со временем.
Т.к. (1,402), то на величину НД в большей степени влияют основные производственные фонды.
Чтобы увеличить у, нужно увеличить С.
На следующий период времени можем сделать прогноз с помощью тренда.