Однофакторные модели экономического развития

1. Понятие однофакторной модели;

2. Нахождение параметров однофакторной модели;

3. Коэффициент парной корреляции;

4. Оценка характеристик корреляционных связей.

1. Понятие однофакторной модели.

Однофакторные модели экономического развития выражают зависимость динамики объема производства от динамики одного производственного фактора.

y_t = f (x_t)

Производственные факторы: численность работающих, стоимость основных производственных фондов, совокупность затрат. Эта зависимость является корреляционной. Функциональная зависимость – законы физики, химии, они проявляются всегда в любых условиях и ситуациях. Корреляционная зависимость проявляется лишь в массе наблюдений и в среднем.

Корреляция – перевод с лат. «соответствие».

На выпуск продукции влияют факторы объективные (оборудование, тех. оснащение, технологии), субъективные (они связаны с целенаправленной деятельностью человека – административное управление), случайные.

Корреляционная связь учитывает все эти факторы. В корреляционном анализе учитывают задачи:

1. определить вид и форму корреляционной связи в виде уравнения регрессии y_t = f (x_t);

2. ценить силу, тесноту этой связи, в качестве мерителя этого является коэффициент корреляции.

x_t – производственный фактор.

2. Нахождение параметров однофакторной модели.

По статистическим данным можно строить корреляционную зависимость, но статистика должна быть однородной и представительской.

Однородная статистика – на один вид продукции берем предприятия, т.е. относительно одного фактора (параметра).

Статистика может быть задана в пространстве и времени: одно предприятие, но в разные годы.

Бывает смешанная статистика – время и фактор.

Представительская статистика – ее должно быть достаточно, чтобы сделать вывод и доверять полученным закономерностям.

n = 30 наблюдений  выводы будут математически выверены.

Чем меньше статистики, тем хуже результат.

Метод построения регрессии: метод наименьших квадратов, метод экспоненциального сглаживания, метод наименьших квадратов с различными условиями.

Метод наименьших квадратов:

По статистическим данным строится уравнение регрессии таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений фактических значений от вычисленных по уравнению была минимальной.

ПРИМЕР:

Рассмотрим зависимость средней выработки на одного работающего от стоимости основных фондов. Информация для 10 предприятий, выпускающих одну продукцию.

Стоимость осн. фондов, млн. руб. (х)	Средняя выработка, тыс. руб. (у)	х2	х  у	расс-читанное	(у - )2	(у – )2
1	14	1	14	13,6	30,25	0,16
2	16	4	32	14,9	12,25	1,21
3	15	9	45	16,2	…	1,44
4	17	16	68	…	…	…
5	18	25	90	…	…	…
6	21	36	126	…	…	…
7	23	49	161	…	…	…
8	22	64	176	…	…	…
9	24	81	216	…	…	…
10	25	100	250	…	…	…
 55	195	385	1178	194,5	142,5	7,65

y = 12,3 + 1,3  x

= 12,3 + 1,3  1 (= x₁)

y = a₀ + a₁  x

x – стоимость основных фондов;

у – выработка на одного рабочего;

– среднее = 194,5 / 10 = 19,5.

у

у = a₀ + a₁  x

25

20

15 a₁

10

5 a₀

0

х

F (a₀; a₁) – все отклонения зависят от функции от 2-х параметров.

F (a₀; a₁) =  min

10  a₀ +  x_i  a₁ =  y_i

 x_i  a₀ +  x_i²  a₁ =  x_i  y_i

ПРИМЕР:

10  a₀ + 55  a₁ = 195,

55  a₀ + 385  a₁ = 1178.

a₀ = 12,3; a₁ = 1,3

y = 12,3 + 1,3  x – уравнение регрессии (отклонение min).

Вывести формулу от зависимости: y = a₀ + a₁  x + а₂  х²

F =  (y_i – a₀ – a₁  x_i  а₂  х_i²) ²

, .

3. Коэффициент парной корреляции;

= 19,5 (195 / 10) – средняя величина – основная величина.

Оценка средней: - среднеквадратическое отклонение.

Оценка уравнения:

– коэффициент корреляции, 0 | r |  1

если r = 0  связей нет и уравнение регрессии ничего нового нам не даст.

если r = 1  , где получается - оценка по уравнению намного меньше, чем оценка по средней.

 0 – связь, описанная уравнением сильная, уравнение хорошо описывает статистику.

y = f (x) – корреляционная зависимость.

Задачи:

1) построить уравнение регрессии;

2) оценить тесноту связи с помощью коэффициента корреляции r.

Если r  1, то связь сильная.

y = 12,3 + 1,3  x – уравнение регрессии

r = 0,96

Задача решена. Уравнение можно использовать для анализа и прогнозирования.

При х = 13, = 12,3 + 1,3  13 = 29,2 – прогноз, но важно знать не цифру, а интервал.

4. Оценка характеристик корреляционных связей.

Берем группу однородных предприятий (10) – выборка

y = f₁ (x) – одна выборка;

y = f₂ (x) – другая;

y = f (x) – генеральная совокупность.

Оценка значений, вычисленных по уравнению регрессии:

При расчете уравнения регрессии мы совершаем ошибку:

Средняя ошибка будет различной для различных выборок. В зависимости от объема выборки она является случайной величиной, которая подчиняется закону Стьюдента: у =  t_ 

t_ - зависит от величины выборки и от вероятности (n и ), берем в таблице.

 = 0,05 соответствует Р = 0,95 – самое приемлемое значение для экономического исследования.

Если n = 10, то t_ = 2,26;

n = 12, то t_ = 2,2;

n = 30, то t_ = 2.

Для х = 13, = 29,2

у = 29,2  2,26  0,87 = 29,2  1,97

Оценка коэффициента корреляции:

 - коэффициент корреляции генеральной совокупности;

– ошибка при вычислении коэффициента корреляции r.

 = (1- 0,94) / 3 = 0,02

 = r  t_   - оценка коэффициента корреляции, так же подчиняется закону Стьюдента.

Значимость коэффициента корреляции:

Коэффициент корреляции r – это сила связи между двумя показателями, описанными уравнениями регрессии.

Если  = 0, то связи нет. Мы делаем ошибку, связанную с выборкой.

– величина ошибки.

Если связь есть, r – существует, значит он значимый.

Если r  [ t_  *], то связь отсутствует, коэффициент не значим.

Если r  [ 2,26  0,333] = [ 0,75]

r = 0,96 – коэффициент значимый.