1.3. Методы с использованием производных

Рассмотренные методы поиска используют информацию только о значениях целевой функции. Логично предположить, что если дополнительно к этому иметь информацию о производных функции, то эффективность поисковых процедур может существенно повыситься.

Метод средней точки. Если функция унимодальная в заданном интервале поиска , то точкой оптимума является точка, в которой . Если при этом имеется возможность вычислять как значения функции, так и ее производные, то для нахождения корня уравнения можно воспользоваться эффективным алгоритмом исключения интервалов, на каждой итерации которого рассматривается лишь одна пробная точка.

Вычислим значение производной функции в средней точке рассматриваемого интервала . Если , то с учетом предположения об унимодальности естественно утверждать, что точка минимума не может находиться левее точки . Другими словами, интервал подлежит исключению. С другой стороны, если , то точка минимума не может находиться правее z и интервал можно исключить [1]. Приведенные рассуждения лежат в основе логической структуры метода средней точки, называемого иногда поиском Больцано, который включает следующие шаги.

Шаг 1. Задать интервал поиска и величину , определяющую точность нахождения точки минимума ; при этом и .

Шаг 2. Вычислить и .

Шаг 3. Если |, закончить поиск, положив .

В противном случае, если , положить и перейти к шагу 2; если , положить и перейти к шагу 2.

Следует отметить, что логическая структура поиска в соответствии с изложенным методом исключения интервалов основана лишь на исследовании знака производной независимо от значений, которые эта производная принимает.

Метод секущих. Метод секущих, являющийся комбинацией метода Ньютона и общей схемы исключения интервалов, ориентирован на нахождение корня уравнения в интервале (a, b), если, разумеется, такой корень существует.

Предположим, что в процессе поиска стационарной точки функции в интервале (a, b) обнаружены две точки и , в которых знаки производной различны. В этом случае алгоритм метода секущих позволяет аппроксимировать функцию «секущей прямой» (прямой линией, соединяющей две точки) и найти точку, в которой секущая графика пересекает ось абсцисс (см. рисунок). Таким образом, следующее приближение к стационарной точке определяется по формуле

. (1.4)

Если , поиск следует закончить. В противном случае необходимо выбрать одну из точек или таким образом, чтобы знаки производной в этой точке и точке z были различны, а затем повторить основной шаг алгоритма [2].