Яблонский Д10 вариант 20 / D10_v20
.docЗ а д а н и е Д.10. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы
Механическая система сил под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя; начальное положение показано на рисунке. Учитывая сопротивление качению тела 3, катящегося без скольжения, пренебрегая другими силами сопротивления, массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, массами звеньев АВ, ВС и ползуна В определить скорость тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s.
Дано: – масса груза 1, и – массы тел 2 и 3, см, см – радиусы тел 2 и 3, см – радиус инерции тела 2 относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести, град – угол наклона плоскости к горизонту, – коэффициент трения скольжения, см – коэффициент трения качения, м, , .
Решение:
Применим теорему об изменении кинетической энергии системы :
, (1)
где T и T0 – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях; – сумма работ внешних сил, приложенных к системе, на перемещение системы из начального положения в конечное; – сумма работ внутренних сил системы на том же перемещении.
Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твердых тел, соединяемых нерастяжимыми нитями и стержнями,
.
Т.к. в начальном положении система находится в покое, то . Следовательно, уравнение (1) принимает вид:
.
Напишем кинематические соотношения между скоростями и перемещениями точек системы, т.е. уравнения связей, при этом скорости и перемещения выразим соответственно через скорости и перемещения груза 1.
Скорость точки D блока 2:
,
,
- угловая скорость блока 2,
, ,
,
.
После интегрирования (при нулевых начальных условиях):
.
Когда груз 1 пройдет путь , блок 2 повернется на угол :
.
При этом повороте блока 2 на 1800 его точка А0 перейдет в конечное положение А и шатун А0В0 перейдет в конечное положение АВ. Каток 3 переместится влево при повороте блока 2 на угол и вправо при повороте блока еще на . Значит, конечное положение катка совпадет с начальным.
Кинетическая энергия системы:
.
Кинетическая энергия груза 1, движущаяся поступательно:
Кинетическая энергия тела 2, вращающегося вокруг оси 0x :
,
где – момент инерции.
.
Кинетическая энергия катка 3, совершающего плоско-параллельное движение:
- скорость центра масс С3 катка, - момент инерции, - угловая скорость.
,
.
Скорость точки А:
,
.
Тогда:
,
Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном перемещении:
– работа сил тяжести :
,
– работа сил трения скольжения :
,
– работа пары сил сопротивления качению катка 3:
, где,
его угол поворота:
.
Работу пары сил сопротивления вычисляем как сумму работ этой пары при качении катка 3 влево при повороте на угол и качении вправо, когда тело 2 повернется на угол .
Перемещение центра тяжести С3 катка 3 равно перемещению ползуна В влево и вправо:
,
,
т.к. , то:
,
,
,
.
Работа пары сил сопротивления качению:
.
Сумма работ внешних сил:
,
,
,
м/с.