Яблонский Д10 вариант 20 / Д10 - вар №20

Дано:

									S
кг			см		см	град		см	м
m	2m	20m	20	15	16	30	0,1	0,2	0,2

, .

Определить скорость тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s.

Решение

Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:

,

где и - кинетическая энергия системы в конечном и начальном положениях; - сумма работ внешних сил, приложенных к системы, на перемещении системы из начального положения в конечное; - сумма работ внутренних сил системы на том же перемещении.

Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твёрдых тел, соединённых нерастяжимыми нитями и стержнями, = 0.

Так как в начальном положении система находится в покое, то = 0.

Следовательно, уравнение принимает вид .

Вычислим кинетическую энергию системы в конечном положении как сумму кинетических энергий всех тел.

;

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно,

.

Кинетическая энергия катка 2, вращающегося вокруг оси Ох,

,

где - момент инерции блока 2 относительно оси Ох:

и (т. к. )

Получим

.

Кинетическая энергия катка 3, совершающего плоское движение,

.

Так как каток 3 катится бес скольжения, то мгновенный центр скоростей находится в точке соприкосновения катка и горизонтальной поверхности. Поэтому

и .

Учитывая , получим:

.

Кинетическая энергия всей системы:

.

Рассчитаем угол поворота блока 2:

, т. к. и , получим:

.

Проинтегрировав (при нулевых начальных условиях)

.

При таком повороте блока 2 положение катка 3 совпадёт с его первоначальным положением.

Найдём сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном её перемещении.

Работа силы тяжести

.

Работа силы трения скольжения:

.

Работа пары сил сопротивления качению катка 3

, где - момент пары сил сопротивления качению катка 3, - угол поворота катка 3.

, где - перемещение центра масс катка.

Перемещение центра масс катка равно перемещению ползуна в право и влево.

При повороте ползуна на угол в 90 градусов получим:

, где

;

.

Следовательно,

=0,458

В итоге:

.

Сумма равна:

.

Приравниваем T и

используя данные из таблицы значений, получим:

м/с.