§ 12.2. Примитивно-рекурсивные функции

Класс примитивно-рекурсивных функций определяется путем указания конкретных исходных функций (они называются базисными) и фиксированного множества операций над ними, применяемых для получения новых функций из ранее заданных.

В качестве базисных функций обычно берутся следующие:

• Функция следования;

• Функция тождества (функция проекции, или функция выбора аргументов);

• Функция константы.

Допустимыми операциями над функциями являются операции суперпозиции (подстановки) и примитивной рекурсии.

Частичная арифметическая функция f называется примитивно-рекурсивной, если она может быть получена из простейших функций C_qⁿ, S, U_mⁿ конечным числом операций подстановки и примитивной рекурсии (т.е. задана в базисе Клини).

Т.о. базис Клини состоит из:

• трех простых функций;

• двух разрешенных операций.

Рассмотрим сначала функции.

1) функция – следование: S(x) = x' = x+1, где x’ – число, непосредственно следующее за натуральным числом х. Например, 0’ = 1, 1’ = 2, … и т.д.

2) функция - тождество: , где n – кол-во переменных, а i – номер переменной, по которой берется тождество. Функция тождества – функция, равная одному из своих аргументов. Например, .

3) функция - константа: , где n – число переменных, q – значение, которое принимает функция. Функция константа принимает всюду одно значение. Например, C₂³(16,9,10)=2.

Далее рассмотрим операции.

1) операция примитивной рекурсии R

Если мы имеем функцию одной переменной f(x), то схема рекурсии называется «рекурсия без параметров» и задается системой уравнений:

f (0) = q

f (x') = χ (f (x), x)

Функция, заданная такими уравнениями, кратко задается схемой вида R_q ( χ ). Поскольку вид системы уравнений (и способ задания трех разрешенных функций) строго определен, то схема является однозначной.

Если мы имеем функцию нескольких переменных f(x₁,x₂,…,x_n), то схема рекурсии называется «рекурсия с параметрами» и задается системой уравнений:

f (0, x₂,…, x_n) = Ψ (x₂,…, x_n)

f (x'₁, x₂,…, x_n) = χ (f(x₁,…, x_n), x₁,…, x_n)

Функция, заданная такими уравнениями, кратко задается схемой вида Rⁿ (Ψ, χ)

2) Операция подстановки (суперпозиции) s:

Пусть заданы m каких либо частичных арифметических функций f₁, f₂,…f_m от одного и того же числа n переменных, определенных на множестве А со значениями в множестве В. Пусть на множестве В задана частичная функция Ф от n переменных, значения которой принадлежат множеству С. Введем теперь частичную функцию g от n переменных, определенную на А со значениями в С, полагая по определению для произвольных x₁,…,x _n.

g(x₁,…, x _n) = Φ (f₁ (x₁,…, x _n), f₂ (x₁,…, x _n),…, f _m (x₁,…, x _n ))

Говорят, что функция g получается операцией суперпозиции или подстановки из функций f₁, f₂,…,f_m. Обозначается эта операция буквой S с двумя индексами: верхний (n) показывает от скольких переменных зависят внутренние функции f_i (x₁,…, x _n), а нижний (m) – количество самих функций f₁, f₂,…,f_m.

_n

g(x₁,…, x _n) = S _m (Φ, f₁, f₂,…, f _m),

При этом функция Ф при подсчете внутренних функций не учитывается.