Предикаты

Высказывание – предложение, про которое можно сказать, истинно оно или

ложно.

0 – ложь, 1 – истина.

Предикат – это функция от n переменных, имеющая своей областью прибытия множество {0, 1}.

Другими словами, предикат – это формула, содержащая n переменных, которая при их фиксировании принимает значение «ложь» или «истина».

Предикат P(x1 ,..., xn ) называется тождественно ложным, если на любом наборе значений своих аргументов он принимает значение «ложь».

Пример: x, y Z, P(x, y) : x2 2y 2 .

Предикат Q(x1 ,..., xn ) называется тождественно истинным, если на любом наборе своих аргументов он принимает значение «истина».

Пример: x, y N, Q(x, y) : (2x 6y) 2.

Предикат R(x1 ,..., xn ) называется выполнимым, если хотя бы на одном наборе

своих аргументов он принимает значение «истина».

Пример: человек x имеет возраст y лет. R(x,18) 0 или = 1; R(x,3000) 0.

Действия над предикатами

P(x1,..., xn ) →Q(x1 ,..., xm ) , который принимает значение «ложь» на тех и только тех наборах аргументов, на которых P(x1,..., xn ) - «истина», а Q(x1 ,..., xm ) - «ложь».

Аналогично вводятся операции конъюнкции, дизъюнкции и т.п.- квантор общности («для любого»).

- квантор существования («существует»).y P(y, x1 ,..., xn ) T (x1 ,..., xn ), где

T (a1 ,..., an ) 1 P(y, a1 ,..., an ) 1,

T (b1 ,...,bn ) 0 P(y,b1 ,...,bn ) не всегда равен 1.y P( y, x1 ,..., xn ) R(x1 ,..., xn ), где

Покажем, что P(x) - выполним.

P(2) 1 2y 1 - выполним (при y 12 ),

P(0) 0 (0 y 1) 0,

Следовательно, P(x) - выполнимый, но не тождественно истинный.

1

Операции навешивания квантора общности и квантора существования называются операциями квантификации.

Порядок выполнения действий: , , , , , , .

Теорема о представлении квантора общности через конъюнкцию

P(x, y1 ,..., yn ), x {a1 , a2 ,..., ak }.

x P(x, y1 ,..., yn ) P(a1 , y1 ,..., yn ) P(a2 , y1 ,..., yn ) ... P(ak , y1 ,..., yn ) (1) Доказательство.

Зафиксируем b1 ,...,bn .

x P(x,b1 ,...,bn ) 1 P(x,b1 ,...,bn ) 1

P(a1 ,b1 ,...,bn ) 1, P(a2 ,b1 ,...,bn ) 1,..., P(ak ,b1 ,...,bn ) 1

P(a1 ,b1 ,...,bn ) P(a2 ,b1 ,...,bn ) ... P(ak ,b1 ,...,bn ) 1

Илевая, и правая части уравнения (1) принимают значение «истина» на одних и тех же наборах аргументов.

Теорема о представление квантора существования через дизъюнкцию

P(x, y1 ,..., yn ), x {a1 , a2 ,..., ak }.

x P(x, y1 ,..., yn ) P(a1 , y1 ,..., yn ) P(a2 , y1 ,..., yn ) ... P(ak , y1 ,..., yn ) (2) Доказательство.

Зафиксируем b1 ,...,bn .

x P(x,b1 ,...,bn ) 0 P(x,b1 ,...,bn ) 0

P(a1 ,b1 ,...,bn ) 0, P(a2 ,b1 ,...,bn ) 0,..., P(ak ,b1 ,...,bn ) 0

P(a1 ,b1 ,...,bn ) P(a2 ,b1 ,...,bn ) ... P(ak ,b1 ,...,bn ) 0

Илевая, и правая части уравнения (2) принимают значение «ложь» на одних и тех же наборах аргументов.

Теорема о тождественной истинности предикатов

Теорема о тождественной ложности предикатов

P(x, y1 ,..., yn ) 0 x P(x, y1 ,..., yn ) 0 (4) Доказательство.

P(x, y1 ,..., yn ) 0 для любых b1 ,...,bn P(x,b1 ,...,bn ) 0

для любых b1 ,...,bn x P(x,b1 ,...,bn ) 0 x P(x, y1 ,..., yn ) 0

2