12) Вариационные задачи с подвижными границами. Пример в теории управления.

Задан функционал , но крайние точки не закреплены.

Вместо точек заданы 2е кривые

Условие оптимума: главная линейная часть приращения равна 0. Предположим, что мы нашли решение, следовательно знаем точки (x₁,y₁), (x₂,y₂) и минимизировали функционал.

Функция, удовлетворяющая уравнению Эйлера –экстремальная. Решение задачи с подвижными границами может достигаться на экстремалях.

Р ассмотрим пример

Задача

при вещественных аргументах.

Лин. Форма принимает 0е значения только когда и =0 получаем условие =0 =0

Т.е. на концах должны выполняться условия:

это даёт условие, что производные:

система уравнений

Уравнение экстремали для: :

1. Обращение к уравнению Эйлера и нахождение уравнения Экстремали.

2. Условие трансверсальности-условие вхождения экстремали в границу для поиска констант с1 и с2

13) Вариационные задачи на условный экстремум.

Вариационными задачами на условный экстремум называют задачи, в которых требуется найти экстремум функционала I , причем на функции, от которых зависит этот функционал, наложены некоторые связи. Например, требуется исследовать на экстремум функционал

При наличии условий . Такая задача решается методом неопределенных множителей Лагранжа.

Условным экстремумом называется экстремум не на всей области определения функции (функционала), а на определённом её подмножестве, выделяемом специально наложенным условием (или условиями). Ограничения могут быть типа равенств или типа неравенств.

Рассматриваем функционал, заданный в интегральной форме.

За пределами ограничений куски траектории в задаче с подвижными концами являются экстремалями. Существует условие трансверсальности – условие вхождения экстремали в границу. Эти условия являются дополнительными уравнениями, которые позволяют определить неизвестные константы интегрирования.

В простых задачах – экстремаль должна касаться границы.

14) Множители Лагранжа в вариационном исчислении.

При решении вариационной задачи на условный экстремум (см. вопрос 13) удобно использовать метод множителей Лагранжа, сохраняющий полное равноправие переменных, т.е. сведение задачи к задаче на безусловный экстремум. Дан функционал

При наличии условий

Запишем функцию Лагранжа Ф:

Составим функционал , который исследуется на безусловный экстремум, т.е. решается система уравнений Эйлера

(2)

Однако, остается невыясненным, всегда ли можно применить этот метод. Поэтому ограничимся формулировкой теоремы:

Теорема. Функции , реализующие экстремум функционала при наличии условий

удовлетворяют при соответствующем выборе множителей Лагранжа уравнениям Эйлера, составленным для функционала (1). Функции определяются из системы (2).

15) Пример использования множителей Лагранжа для поиска управлений.

16) Понятие переменных состояния.

Полным описанием динамической системы является описание в форме Коши:

=f₁(x₁….x_n, u)……. =f_n(x₁….x_n, u);

В частности для линейных систем

Переменные, входящие в описание по форме Коши, называются переменные состояния (т.е. вектор )

Перевести систему из одного состояния в другое, значит: имея начальный набор значений привести за счет управляющего воздействия u к другому набору . Состояние системы в каждый момент времени – значение переменных состояния, т.е.

x = ; x = ; x(T) =