8) Пример использования уравнения Эйлера для поиска оптимального управления.
З
адача.
Найти оптимальную (кратчайшую) кривую
между двумя точками.
dy
dx
;
Функционал:
,
где
.
Первое правило дифференцирования: речь идет только о вещественных аргументах. Запишем:
Теперь мы
можем записать уравнение Эйлера:
Решение: рассмотрим первый случай.
общий
вид решения.
– семейство прямых.
Второй
случай.
- общее решение (все прямые).
Итак, оптимальная траектория – прямая, соединяющая эти две точки.
– система линейных уравнений относительно
констант.
Итак, общий алгоритм решения такой задачи (задачи Эйлера).
1. Составить уравнение Эйлера (два правила дифференцирования);
2. Найти общее
решение уравнений Эйлера:
,
т.к. второй порядок.
3. Определить
константы интегрирования из условий:
Всякая задача должна быть поставлена корректно:
1. Существование решения;
2. Единственность решения;
3. Решения должны быть устойчивы по отношению к некоторым изменениям в установке.
9) Понятие близости кривых.
Кривые
и
близки в смысле близости нулевого
порядка, если модуль разности
мал.
Кривые
и
близки в смысле близости первого порядка,
если модули разностей
и
малы.
Кривые и близки в смысле близости k-го порядка, если модули разностей малы.
На первом рисунке изображены кривые, близкие в смысле близости нулевого порядка, но не близкие в смысле близости первого порядка, т.к. ординаты у них близки, а направления касательных не близки. На втором рисунке изображены кривые близкие в смысле близости первого порядка.
Из этих определений следует, что если кривые близки в смысле близости k-го порядка, то они тем более близки в смысле близости любого меньшего порядка.
10) Уравнение Эйлера-Пуассона.
Рассмотрим задачу Эйлера-Пуассона. Исследуем на экстремум функционал
Где
функцию F можно считать
дифференцируемой
раза по всем аргументам, и будем
предполагать, что граничные условия
имею вид:
Т.е.
в граничных точках заданы не только
значения функции, но и ее производных
до порядка
включительно. Находим экстремум по трем
правилам, и получаем, что на кривой,
реализующей экстремум:
В силу основной леммы вариационного исчисления:
Итак,
функция
реализующая экстремум исходного
функционала должна быть решением
уравнения
.
Это
дифференциальное уравнение порядка
носит название Эйлера-Пуассона, а его
интегральные кривые называют экстремалями
рассматриваемой вариационной задачи.
Общее решение этого уравнения состоит
из 2n произвольных
постоянных, которые определяются, вообще
говоря, из начальных условий.
11) Пример использования уравнения Эйлера-Пуассона в теории оптимального управления.
x(T)=
условие закрепления
Найти оптимальное управление
=(
(t)
;
(
)=
уравнение Эйлера-Пуассона
x’’’=c1
x’’=c1L+c2
x’=c1
+c2L+c3
x=c1
x(0)=c4=x0
x’(0)=
x(T)=c1
x’(T)=3c1
Система линейных уравнений
Находим c1 и c2, подставляем x в объект, находим u(t)