7.2. Определенный интеграл
7.2.1. Определения и свойства
,
где
Свойства определенного интеграла
Интеграл от суммы или разности двух функций:
.Внесение или вынесение постоянного множителя за знак интеграла:
.
Свойство аддитивности:
.Неотрицательность интеграла: если
,
,
то
.Сохранение неравенства: если
и
,
то
.Теорема о среднем:
,
где
,
-
непрерывна на
.Формула Ньютона-Лейбница:
,
где
-
первообразная для
.Интегрирование по частям:
.Замена переменной:
а)
,
где
,
,
и
непрерывна
на
,
а
непрерывна
и монотонна на
б)
,
где
u=
(x), c=
(a), d=
(b).
7.2.2. Приложения определенного интеграла
Характеристика |
Вид функции |
Формула |
площадь криволинейной трапеции |
в декартовых координатах |
|
площадь криволинейного сектора |
в полярных координатах |
|
площадь криволинейной трапеции |
в параметрической форме |
|
длина дуги кривой |
в декартовых координатах |
|
длина дуги кривой |
в полярных координатах |
|
длина дуги кривой |
в параметрической форме |
|
объём тела вращения |
в декартовых координатах |
|
объём тела с заданным поперечным сечением |
|
|
