- •Кафедра информационных технологий
- •Москва – 2007
- •Содержание
- •Введение
- •Постановка задачи
- •Решение задачи
- •Глава 2. Оптимизация технологий рецептурных смесей
- •2.1. Оптимизация технологии составления многокомпонентных рецептурных смесей
- •1. Формирование математической модели
- •2. Формирование компьютерной модели
- •3. Поиск решения
- •2.2. Моделирование двух- и трёхкомпонентной рецептурной смеси
- •1. Модель показателя активной кислотности (pH)
- •2. Модель водосвязывающей способности (всс)
- •Глава 3. Регрессионно-факторный анализ в исследовании адекватности эмпирических зависимостей
- •3.1. Идентификация параметров эмпирических зависимостей технологических моделей
- •3.2. Адекватность эмпирических зависимостей
- •Критерий поворотных точек для определения случайности остаточной компоненты
- •Определение автокорреляции остатков критерием Дарбина-Уотсона
- •Независимость распределения остаточной компоненты по r/s-критерию
- •3.3. Оценка статистической значимости регрессионных моделей технологических объектов
- •Коэффициент детерминации как характеристика силы вязи между показателями исследуемого технологического объекта
- •Оценка качества уравнения регрессии f-критерием Фишера
- •Оценка статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции t-критерием Стьюдента
- •Постановка задачи
- •Зависимость щёлочности и показателя активной кислотности рН от объёмной доли спирта
- •Решение задачи
- •Глава 4. Спектральные методы оценки нечетких потребительских свойств пищевого сырья и готовых продуктов
- •4.1. Сверхразрешение при различии спектральных распределений Постановка задачи
- •Решение задачи
- •4.2. Сравнительный анализ технологий. Моделирование связи показателей технологий
- •Список литературы
1. Формирование математической модели
Обозначим через x1 содержание говядины 1-го сорта,
x2 ‑ свинины полужирной,
x3 ‑ мяса птицы механической обвалки,
x4 ‑ молока сухого цельного,
x5 ‑ яйца цельного (или крахмала).
Тогда себестоимость (целевая функция)
135 x1 + 116 x2 + 75 x3 + 70 x4 + 21,4 x5 min
п ри заданных ограничениях:
69,00 - 1,20 77,70 x1 + 66,00 x2 + 70,00 x3 + 4,00 x4 + 74,00 x5 69,00 + 1,20 (влага),
14,50 - 1,00 7,00 x1 + 16,00 x2 + 16,00 x3 + 25,00 x4 + 11,50 x5 14,50 + 1,00 (жир),
15,00 - 0,40 20,20 x1 + 17,00 x2 + 13,00 x3 + 26,00 x4 + 12,70 x5 15,00 + 0,4 (белок),
1,00 - 0,07 1,10 x1 + 0,80 x2 + 0,90 x3 + 0,40 x4 + 1,10 x5 1,00 + 0,07 (зола),
42,55 - 12,50 60,00 x1 + 32,50 x2 + 37,00 x3 + 55,00 x4 + 11,00 x5
42,55 + 12,50 (водосвязывающая способность),
5700,00 – 100,00 7000,00 x1 + 6500,00 x2 + 4700,00 x3 + 370,00 x4 +
+ 120,00 x5 5700,00+ 100,00 (предельное напряжение сдвига),
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1 (естественное условие для массовых долей),
150 x1 + 180 x2 + 260 x3 + 100 x4 + 125 x5 190 (биологическая ценность),
x1 ≥ 0,
x2 ≥ 0,
x3 ≥ 0,
x4 ≥ 0,
x5 ≥ 0.
2. Формирование компьютерной модели
Сформируем в среде Microsoft Excel таблицу 8.
Таблица 8
Введём соответствующие формулы для расчёта величин потребительских свойств фарша, а также их верхних и нижних границ (таблица 9).
Таблица 9
3. Поиск решения
Выберем команду Поиск решения пункта меню Сервис.
Введём параметры поиска:
В окне Поиск решения отображена лишь часть ограничений, а именно: ограничения по влаге, жиру и биологической ценности. Следует также указать ограничения по водосвязывающей способности, предельному напряжению сдвига и естественному условию для массовых долей.
Нажмём кнопку Выполнить, после чего в ячейках B15 F15 будут отображены результаты поиска решения: содержание говядины, свинины, мяса птицы механической обвалки, молока сухого цельного и яйца цельного (или крахмала) в смеси. В ячейках I3 I10 будут отображены значения потребительских свойств фарша с полученными (в ячейках B15 F15) массовыми долями его компонентов. Ячейка I11 содержит минимальное значение себестоимости полученного фарша (таблица 10).
Таблица 10
2.2. Моделирование двух- и трёхкомпонентной рецептурной смеси
Построение модели двухкомпонентной рецептурной смеси при условии линейной зависимости поправки от массовых долей компонентов
Составим модель двухкомпонентной рецептурной смеси мясного фарша с учётом взаимодействия компонентов [4]. Задачей является нахождение весовых коэффициентов модели рецептурной смеси, при которых выбранные потребительские свойства фарша соответствуют стандартам.
Идентифицируем модели показателя активной кислотности (pH) и водосвязывающей способности (ВСС).
Водосвязывающая
способность определяется относительным
количеством воды, связанной белковыми
молекулами компонентов смеси.
1. Модель показателя активной кислотности (pH)
Создадим шаблон для ввода исходных данных и решения задачи (таблица 11).
Таблица 11
При этом диапазон ячеек С3:Н4 содержит значения массовых долей компонентов в каждом из n опытов.
Диапазон ячеек С5:Н7 содержит измеренные при каждой комбинации смеси значения pH.
Рассчитаем равновесное значение pH и разности истинного и равновесного значений pH.
Расчет равновесного значения pH производится по формуле
ApH(n)= ‑lg(M1(n)10 ‑F1 + M2(n)10 ‑F2).
Таким образом, в ячейку С8 следует ввести формулу
=-LOG10(C3*10^(-C7)+C4*10^(-C6))
и затем скопировать её в диапазон ячеек D8:H8 (таблица 12).
Таблица 12
Построим модель двухкомпонентной смеси с учётом зависимости поправки от массовых долей компонентов:
.
Задача сводится к нахождению коэффициентов В1 и В2.
Искомые коэффициенты могут быть определены с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Для этого следует решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными (В1 и В2)
(*)
Рассчитаем для первого уравнения системы (*)
Аналогично, для второго уравнения системы (*)
Таким образом, получаем таблицу 13.
Таблица 13
В ячейках Е13 и Е14 введены формулы фактических значений свободных членов системы уравнений:
в Е13 ‑ =СУММПРОИЗВ($B$12:$C$12; B13:C13),
которая копируется в ячейку Е14 (таблица 14).
Таблица 14
4. Модель двухкомпонентной смеси должна быть построена таким образом, чтобы вычисляемые и фактические значения свободных членов в системе (*) совпадали.
Для этого определим квадраты отклонений данных значений в соответствующих ячейках компьютерной модели:
в ячейке F13 ‑ =(D13-E13)^2;
в ячейке F14 ‑ =(D14-E14)^2.
Для совпадения в системе (*) вычисляемых значений и свободных членов необходимо, чтобы сумма квадратов их отклонений была минимальна.
Значит, вычислим в ячейке F15 сумму квадратов отклонений
=СУММ(F13:F14)
и минимизируем её (используя команду Поиск решения).
Целевая функция записана в ячейке F15 (в ней вычисляется сумма квадратов отклонений, которая должна быть минимальной).
Изменяемые ячейки В12:С12 (в данном диапазоне будут определены искомые значения В1 и В2).
Ограничения: $D$13:$D$14=$E$13:$E$14 (фактические значения свободных членов должны совпадать с вычисляемыми).
Результат решения – таблица 15.
Таблица 15
Таким образом, модель показателя активной кислотности (pH) идентифицирована; коэффициенты B1 и B2 найдены:
В1 = -0,005; В2 = 0,02.