§3. Пряма на площині

3.1. Різні види рівнянь прямої на площині

Пряма на площині в декартових координатах може бути задана одним з таких рівнянь:

1. Ах + By + С = 0 — загальне рівняння прямої;

2. А (х – х₀) + В (у — у₀) = 0 — рівняння прямої, що проходить через точку М₀ (х₀; у₀) перпендикулярно до нормального вектора = (А; В) (рис. 3.1);

Рис. 3.1 Рис. 3.2 Рис. 3.3

3. - рівняння прямої (рис. 3.2), що проходить через точку М₀ (х₀; у₀) паралельно напрямному вектору = (m; n) (канонічне рівняння прямої);

Рис. 3.4 Рис. 3.5 Рис. 3.6

4. х = х₀ + mі, у = у₀ + nt (t(- ; )) — параметричні рів­няння прямої (рис. 3.3), що у векторній формі мають вигляд ;

5. - рівняння прямої (рис. 3.4), що проходить через дві задані точки М₁ (х₁; у₁), М₂ (х₂; у₂);

6. — рівняння прямої у відрізках на осях (рис. 3.5), де а і b — відрізки, що їх відтинає пряма на координатних осях О_х і О_у відповідно;

7. у = kx + b - рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом (рис. 3.6), де k - кутовий коефіцієнт прямої (k = tg); b - величина відрізка, що його відтинає пряма на осі О_у;

8. у — у₀ = k (х — х₀) - рівняння прямої, що проходить через задану точку і має заданий кутовий коефіцієнт;

9. х cos  + y sin — р = 0 — нормальне рівняння прямої, де р > 0 - довжина перпендикуляра, проведеного з початку координат на пряму;  — кут нахилу цього перпендикуляра до осі О_х.

3.2. Загальне рівняння прямої та його дослідження. Пучок прямих

Рівняння Ах + By + С = 0 називається загальним рівнянням прямої на площині, де А, В - координати вектора нормалі до прямої; С - вільний член:

1. С = 0 — рівняння Ах + By = 0 визначає пряму, що проходить через початок координат;

2. В = 0, А ≠ 0, С ≠ 0 — рівняння Ах + С = 0 або х = а - визначає пряму, паралельну осі О_у;

3. В = 0, А ≠ 0, С = 0 — рівняння Ах=0 або х=0 визначає вісь О_у;

4. А = 0, В ≠ 0, С ≠ 0 — рівняння Ву + С = 0 або визначає пряму, паралельну осі О_х;

5. А = 0, В ≠ 0, С = 0 — рівняння Ву=0 або у=0 визначає вісь О_х;

6. А ≠ 0, В ≠ 0, С ≠ 0 — рівняння визначає пряму у = kx + b з кутовим коефіцієнтом .

Пряма Ах + By + С = 0 ділить площину на дві півплощини так, що для координат точок однієї з них справджується нерівність Ах + By +

С > 0, а для координат точок іншої — нерівність Ах + B у + С < 0.

Сукупність усіх прямих, що проходять через одну й ту саму точку, називається пучком прямих, а їх спільна точка — центром пучка.

Якщо через х₀ і у₀ позначити координати центра, то рівняння

А (х – х₀)+ В (у - у₀) = 0

визначає довільну пряму пучка.

Рівняння пучка прямих можна записати також у вигляді

(А_1х + В_1у + С₁) +  (А_2х + В_2у + С₂) = 0.

Змінюючи  від - до + , дістанемо довільну пряму, що проходить через точку перетину прямих

А_1х + В_1у + С₁ = 0 і А_2х + В_2у + С₂ = 0.

3.3. Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих

Кутом між прямими l₁ і l₂ називається кут , на який треба повер­нути пряму l₁ (проти годинникової стрілки), щоб вона сумістилася з прямою l₂ (рис. 3.7).

Рис. 3.7

Якщо прямі задано канонічними рівняннями

,

то кут між ними знаходять за формулою

Ознакою паралельності прямих є пропорційність координат напрямних векторів , а умовою перпендикулярності — рівність .

Якщо прямі задано рівняннями з кутовим коефіцієнтом

у = k₁x + b₁ і у = k₂x + b₂, то

.

Ознакою паралельності цих прямих буде рівність їх кутових коефіцієнтів k₁=k₂, а ознакою перпендикулярності - рівність .

Якщо прямі l₁ і l₂ задано загальними рівняннями

А₁х + В₁y + С₁ = 0,

А₂х + В₂y + С₂ = 0,

то

.

Ознакою їх паралельності є рівність , а перпендикулярності — рівність А₁А₂ + B₁B₂ = 0.