§2. Скалярний добуток векторів. Проекції вектора. Розкладання вектора за базисом. Лінійна залежність векторів

Лінійною комбінацією векторів з дійсними коефіцієнтами називається довільний вектор виду .

Якщо вектор поданий у вигляді лінійної комбінації

деяких векторів, то кажуть, що він розкладений за цими векторами.

Вектори називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа , що і . Якщо рівність справджується лише при , то вектори називаються лінійно незалежними.

Два колінеарні вектори — лінійно залежні, а два неколінеарні — лінійно незалежні.

Три компланарні вектори — лінійно залежні, а три некомпланарні вектори —лінійно незалежні. Чотири вектори в тривимірному про­сторі завжди лінійно залежні.

Базисом векторів на площині називається упорядкована пара лінійно незалежних (неколінеарних) векторів і . Всякий вектор , компланарний векторам і , які утворюють базис, можна подати у вигляді суми . Числа та називають координатами вектора у базисі і пишуть , а саму суму — розкла­дом вектора за цим базисом.

Базисом у просторі називається упорядкована трійка лінійно незалежних (некомпланарних) векторів. Довільний вектор простору можна розкласти за базисом : , де , , — координати вектора у цьому базисі: .

Скалярним добутком векторів називається число, яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними:

.

Скалярний добуток позначають також і .

Геометричні властивості скалярного добутку

1. (умова перпендикулярності векторів);

2. ;

3. ;

4. .

Алгебраїчні властивості скалярного добутку

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Якщо вектори задано своїми координатами , то скалярний добуток

,

а кут між векторами знаходять за формулою

.

Задачі

1. Знайти проекцію вектора на вісь, напрямок якої співпадає з напрямком вектора , якщо і .

2. Знайти координати точки В, яка є кінцем вектора , якщо початок співпадає точкою А(1;4;-7).

3. Довести, що точки А(-1;2;3), В(2;-1;1), С(1;-3;-1) і D(-5;3;3) є вершинами трапеції.

4. Задано три вектори , , . Розкласти вектор за базисом і .

5. Задані точки: А(0;-1;2) і В(-1;1;4). Знайти координати, довжину і напрямні косинуси вектора .

6. Чи може вектор утворювати з осями координат кути 60°, = 30°?

7. Знайти вектор , колінеарний вектору .

8. Знайти скалярний добуток векторів і , якщо ; ; .

9. Знайти довжину вектора , якщо ; , а кут між векторами і дорівнює .

10. Вектори і взаємно перпендикулярні, а вектор утворює з ними кути рівні , знаючи, що , , . Обчислити

11. При якому значенні m вектори і перпендикулярні?

12. Представити вектор як лінійну комбінацію векторів і в кожному випадку, якщо:

а) , , , ;

b) , , , ;

c) , , , .

13. Знайти , якщо , , = 60°.

14. Знайти модуль вектора , якщо , , кут між векторами і дорівнює 120°.

15. Вектори і утворюють кут . Відомо, що , . Знайти кут між векторами i .

16. Кут між векторами і дорівнює 60°, , . Знайти і .

17. Кут між векторами і дорівнює 120°. Знайти:

а) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

18. Дано точки A(-3;0;-2), B(5;-2;l), C(2;6;-l), D(l;3;-3). Довести, що прямі АВ та CD взаємно перпендикулярні.

19. Дано вершини трикутника А(0;0;5), В(5;-2;1), С(2;6;1). Знайти проекцію вектора на .

20. Дано вершини трикутника А(0;0;5), В(5;-2;1), С(2;6;1). Знайти кути трикутника.