Яблонский Д1 вариант 15

Задача Д-1, вариант 15.

Дано : £=30^о, v_А=0, Р=2000кН, l=50м, h=2м, d=4м

Определить T и т

Решение.

Принимая мотоцикл за материальную точку, покажем действующие на него силы: вес G, нормальную реакцию N и движущую силу Р.

Рассмотрим 1 этап движения тела на участке AB (0≤ t ≤ τ )

Знаем: m a = Σ F_к

У нас проекция на оси Ax₁ и Ау₂ :

ma_x1 = -m g sin α +P (1)

mа_y1 = -m g cos α +N (2)

Так как тело движется вдоль оси х₁ , то проекции перемещения скорости ускорения тела на ось у₁ будут равны нулю; из уравнения (2) получаем:

N=m g cos α

Из уравнения (1): а_х1= (Р – mg sin α)/ m

Обозначим : (P – mg sin α)/m =k (постоянная величина) .

Тогда dV_x1 / dt =k или d V_x1= k dt V_x1= k t + C₁ (3) или

dx₁ / dt = kt + C₁ d x₁ = k t dt+ C₁ dt x₁=k t²/2 +C₁t+C₂ (4)

Для определения постоянных интегрирования С₁ и С₂ запишем начальные условия движения. В точке А при t =0 x₁₀= V_A

Подставим начальные условия движения в уравнения (3) и (4)

V_A = 0+C₁ C₁=V_A

0=0+0+C₂ C₂=0

Запишем равнения (3) и (4) с учетом найденных постоянных интегрирования

С₁ и С₂ :

V_x1= k t + V_A (3’)

x₁= k t²/2 +V_A t (4’)

В положении В при t= τ имеем : x_1τ = AB= L, x̉_1τ = V_B

V_B = k τ + V_A (5)

L = k τ²/2 + V_A τ

Рассмотрим систему (5). Подставим k в уровнения системы (5); получим :

V_B= (P – mg sin α )τ/m +V_A (5)

L = ( P - mg sin α)τ² /2m + V_А τ

В системе (5) неизвестные V_B , m , τ . Пока их определить не удаётся.

2. Рассмотрим 2-й этап движения тела ( 0 ≤ t ≤ T)

Знаем : m a= ΣF_k

У нас в проекциях на оси Вх и Ву имеем:

m a_x = 0 (6)

m a_y = -m g

d V_x / dt = 0 V_x= C₃ (7)

d V_y / dt= - g d V_y= - g dt

∫ dV_y = ∫ -g dt +C₄ , V_y = -g t + C₄ (8)

Запишем уравнения (7) и (8) иначе :

d x / dt =C₃ , dy / dt = - g t + C₄ или

d x = C₃ dt , d y / dt = - g t + C₄ dt

Выполним интегрирование полученных выражений :

x = C₃ t + C₅ (9)

y = - g t² / 2+ C₄ t + C₆ (10)

Для определения постоянных интегрирования С₃ – С₆ запишем начальные условия движения :

при t=0 в точке В имеем x₀=0 , y₀=0

x₀= V_0x = V_B cos α

y₀ = V _0y = V_B sin α

Подставим наши начальные условия в уравнения (7)-(10) и определим постоянные С₃ – С₆ :

V_B cos α = C₃

V_B sin α = 0 + C₄ C₄ = V_B sin α

0 = 0+ C₅ C₅ = 0

0 = 0 +0 + C₆ C₆ = 0

Запишем уравнения (7)-(10) с учетом найденных нами постоянных интегрирования С₃ – С₆ :

V_x = V_B cos α (11)

V_y = -g t + V_B sin α

x = V_B cos α t

y = - g t² / 2 + V_B sin α t

В положении С при t = T имеем :

x_T = d , y_T = -h , x_T = x_c , y_T = -y_c

Запишем уравнения (11) при t = T:

x_c = V_B cos α

-y_c = - g T + V_B sin α (12)

d = V_B cos α T

-h = - gT² / 2 + V_B sin α T

Определим неизвестные V_B и Т.

Имеем Т=

Подставим это выражение для h.

или

= 4,928 м/с V_B = 4,928 м/с

Итак, Т= Т= 0,9373 с.

Определив V_B , рассмотрим уравнение (5)

После определения V_B найдём τ:

τ = τ = 20,29 с

Из первого уравнения системы (5) имеем:

V_B или V_B + τ g sin= и

m = 338,5 кг