4 Множинна регресія

Кожне явище в природі, економіці, суспільному житті, техніці визначається комплексом причин. На рівень розвитку одного показника можуть впливати багато факторів. Рівень впливу факторів на показник може суттєво розрізнятися. Всі ці закономірності слід враховувати під час проведення економетричного аналізу, прогнозування і планування.

При існуванні лінійної залежності пояснювальної змінної (показника) від декількох пояснюючих змінних (факторів) загальний вираз рівняння множинної регресії має вигляд (14):

(14)

Модель описує сумісний одночасний вплив факторів на показник. Задача дослідження полягає в оцінці параметрів регресії за результатами вибіркових спостережень над змінними, які включили до аналізу. Побудову моделі проводять методом найменших квадратів.

Приклад 5.

Побудувати економетричну модель, яка характеризує залежність між витратами на харчування (умовні грошові одиниці), загальними витратами (умовні грошові одиниці) та складом сім’ї (кількість членів сім’ї) на основі даних, що наведені у таблиці.

	22	30	45	62	48	64	76	108	65	90
	45	72	131	228	90	145	225	357	136	218
	1,7	1,9	2	3,4	3	3,6	4,7	5,2	4,9	5

Розв’язок. Для побудови лінійної багатофакторної моделі (15)

, (15)

де – теоретичні значення показника, згідно з методом найменших квадратів параметри шукають як розв’язок системи лінійних рівнянь (16)

(16)

Допоміжні обчислення зручно проводити в таблиці:

Таблиця 9 - Розрахунок елементів системи (16)

45	1,7	22	2025	2,89	76,5	990	37,4
72	1,9	30	5184	3,61	136,8	2160	57
131	2	45	17161	4	262	5895	90
228	3,4	62	51984	11,56	775,2	14136	210,8
90	3	48	8100	9	270	4320	144
145	3,6	64	21025	12,96	522	9280	230,4
225	4,7	76	50625	22,09	1057,5	17100	357,2
357	5,2	108	127449	27,04	1856,4	38556	561,6
136	4,9	65	18496	24,01	666,4	8840	318,5
218	5	90	47524	25	1090	19620	450
1647	35,4	610	349573	142,16	6712,8	120897	2456,9

В останньому рядку записують суми чисел у стовпці. Можна знайти середні для кожного показника за формулами (17)-(19)

; (17)

; (18)

. (19)

Система (16) для визначення параметрів регресії має вигляд:

З першого рівняння можна виразити і підставити у друге та третє рівняння:

Тоді рівняння регресії (15) має вигляд

. (20)

Важливим етапом регресійного аналізу є оцінка практичної значущості моделі, яку синтезовано. Перевірку значущості моделі проводять за показниками тісноти зв’язку між ознаками і .

Множинний коефіцієнт кореляції дорівнює коефіцієнту кореляції між фактичними та теоретичними значеннями пояснювальної змінної. Його обчислюють за формулою (21)

(21)

Для обчислення множинного коефіцієнта кореляції доцільно розраховувати допоміжну таблицю:

Таблиця 10 - Розрахунок елементів коефіцієнта

45	1,7	22	23,83	484	568,01	524,33
72	1,9	30	30,39	900	923,61	911,73
131	2	45	41,86	2025	1752,26	1883,70
228	3,4	62	71,21	3844	5070,29	4414,77
90	3	48	42,97	2304	1846,42	2062,56
145	3,6	64	57,96	4096	3359,83	3709,70
225	4,7	76	81,70	5776	6675,38	6209,43
357	5,2	108	109,71	11664	12035,85	11848,46
136	4,9	65	67,38	4225	4540,20	4379,77
218	5	90	82,99	8100	6887,34	7469,10
		610	610,01	43418	43659,19	43413,54

Згідно з формулою (21) множинний коефіцієнт кореляції дорівнює

.

Чим ближче до одиниці, тим краще дана модель описує фактичні дані. Розрахований коефіцієнт вказує на дуже точну відповідність математичної моделі фактичним даним.

Коефіцієнт детермінації дорівнює квадрату множинного коефіцієнта кореляції. Він виміряє долю загальної дисперсії відносно середнього , яку можна пояснити регресією.

У нашому випадку . Тобто 96% дисперсії показника (витрати на харчування) можна пояснити за допомогою побудованої моделі залежності від (загальних витрат) і (складу сім’ї).

Корисною є побудова інтервальних границь для коефіцієнта множинної регресії.

Інтервал довіри для множинного коефіцієнту кореляції знаходиться за формулою (22)

, (22)

де .

У нашому випадку за таблицями Ст’юдента (додаток 5) знаходимо критичну точку , тому .

Тоді надійний інтервал, знайдений за формулою (22), має вигляд або . Оскільки коефіцієнт множинної кореляції повинен знаходитись у границях від 0 до 1, то надійним інтервалом для нього буде , який вказує на дуже точний підбір моделі.

Перевірку значущості рівняння регресії роблять таким чином: за критерієм Фішера обчислюють фактичне значення -статистики (23):

. (23)

По таблиці критичних точок Фішера (додаток 4) знаходять критичне значення статистики , де , кількість спостережень, кількість факторів, – рівень значущості.

Якщо , то рівняння регресії не є значущим, коефіцієнт множинної кореляції не суттєво відрізняється від нуля. Якщо , то рівняння регресії є значущим, коефіцієнт множинної кореляції суттєво відрізняється від нуля.

У нашому випадку розрахуємо статистику за формулою (23) . За таблицями Фішера (додаток 4) знайдемо критичне значення . Оскільки , то рівняння визнають значущим.

Економічний зміст параметру b_i регресії: якщо фактор зміниться на одиницю свого виміру, то показник зміниться на одиниць свого виміру при умові, що решта факторів залишається без змін.

У нашому випадку . Якщо фактор зміниться на одиницю свого виміру, то показник зміниться на одиниць свого виміру. Тобто якщо загальні витрати зростуть (або зменшаться) на 1 умовну грошову одиницю, то витрати на харчування зростуть (або зменшаться) на умовних грошових одиниць. Оскільки , то якщо фактор зміниться на 1 одиницю свого виміру, то показник зміниться на одиниць свого виміру. Тобто якщо кількість членів сім’ї зросте (або зменшиться) на 1 чоловіка, то витрати на харчування зростуть (або зменшаться) на умовних грошових одиниць.