За допомогою формули (7) розраховуємо d – статистику:

Обчислене значення d порівнюється зі значеннями і , знайденими по таблиці Дарбіна-Уотсона (додаток 2). Тут п – кількість спостережень, т – число факторів, – рівень значущості. У нашому випадку критичні значення статистики Дарбіна-Уотсона при 5%-ному рівні значущості, тобто при =0,05, дорівнюють: і .

Таблиця 7 – Розрахунок інтервалів

Приймаємо гіпотезу про існування додатної автокореляції	?	Приймаємо гіпотезу про відсутність автокореляції	?	Приймаємо гіпотезу про існування від’ємної автокореляції
0		2		4
0 0,88		1,32 2 2,68		3,12 4

З таблиці 7 бачимо, що d - статистика задовольняє нерівності:

1,32 < 2,136 < 2,68,

отже приймаємо гіпотезу про відсутність автокореляції залишків.

Зауваження. Якщо значення d-статистики задовольняє нерівностям або , то при обраному рівні значущості не має можливості зробити висновок, необхідно подальше дослідження.

3 Мультиколінеарність

На практиці при кількісній оцінці параметрів економетричної моделі досить часто зустрічаються з проблемою взаємозв’язку між пояснюючими змінними. Якщо взаємозв’язок досить тісний, то оцінка параметрів моделі може мати велику похибку. Такий взаємозв’язок між пояснюючими змінними називається мультиколінеарністю. Мультиколінеарність змінних приводить до зміщення оцінок параметрів моделі. На основі цих оцінок неможливо зробити конкретні висновки про результати взаємозв’язку між пояснювальною і пояснюючими змінними. Тому необхідна перевірка чинників на мультиколінеарність.

Простішою формою перевірки мультиколінеарності є аналіз кореляційної матриці. Значення парних коефіцієнтів свідчить про те, будуть між собою зв’язані змінні чи ні. Але якщо в моделі більше двох чинників, питання про мультиколінеарність не може обмежуватись інформацією, що дає ця матриця. Більш загальна перевірка передбачає обчислення визначника матриці R, ( ).

Найбільш повне дослідження мультиколінеарності можна здійснити на основі алгоритму Феррара-Глаубера. Цей алгоритм включає три види статистичних критеріїв, на основі яких перевіряється мультиколінеарність всього масиву змінних ( , хі-квадрат); кожної факторної змінної зі всіма іншими (F-статистика) і мультиколінеарність кожної пари чинників (t-статистика). Всі ці критерії при порівнянні з їх критичними значеннями дають можливість зробити конкретні висновки відносно наявності чи відсутності мультиколінеарності незалежних змінних.

Приклад 4.

Витрати на харчування залежать від чинників: загальні витрати, склад сім’ї та заробіток. Треба дослідити наявність мультиколінеарності по алгоритму Феррара-Глаубера.

Витрати на харч.,	Загальні витрати,	Склад сім ї,	Заробіток,
22	45	1,7	70
30	72	1,9	105
45	131	2	172
62	228	3,4	302
48	90	3	150
64	145	3,6	205
76	225	4,7	303
108	357	5,2	480
65	136	4,9	195
90	218	5	315

Розв’язок.

1. Знайдемо кореляційну матрицю. Ця матриця симетрична. У нашому випадку має розмір 3х3. Вона має вигляд:

, (8)

де обчислюється за формулою

, (9)

де , , .

Обчислимо допоміжну таблицю:

Таблиця 8 - Розрахунок елементів кореляційної матриці

45	1,7	70	2025	2,89	4900	76,5	3150	119
72	1,9	105	5184	3,61	11025	136,8	7560	199,5
131	2	172	17161	4	29584	262	22532	344
228	3,4	302	51984	11,56	91204	775,2	68856	1026,8
90	3	150	8100	9	22500	270	13500	450
145	3,6	205	21025	12,96	42025	522	29725	738
225	4,7	303	50625	22,09	91809	1057,5	68175	1424,1
357	5,2	480	127449	27,04	230400	1856,4	171360	2496
136	4,9	195	18496	24,01	38025	666,4	26520	955,5
218	5	315	47524	25	99225	1090	68670	1575
1647	35,4	2297	349573	142,16	660697	6712,8	480048	9327,9

У нашому випадку число іспитів дорівнює 10. З таблиці 8 маємо:

Розрахуємо середні квадратичні відхилення:

Значення, що розраховані, підставимо у формулу (9):

Для даної задачі кореляційна матриця (8) має вигляд:

Елементи цієї матриці характеризують тісноту зв’язку між чинниками.

У нашому випадку Тобто, між кожною парою чинників існує зв’язок.

2. Знайдемо визначник кореляційної матриці за формулою (10):

(10)

У нашому випадку одержимо такі результати:

Знайдемо - статистику за формулою (11):

(11)

У нашому випадку число іспитів число факторів , тому формула (11), має вигляд:

При ступені свободи і рівні значущості находимо по таблиці (додаток 3) критичне значення .

Якщо , то мультиколінеарність існує, у протилежному випадку, тобто при мультиколінеарність відсутня.

У нашому випадку оскільки ( ), то можемо вважати що мультиколінеарність присутня.

3. Знайдемо обернену матрицю до матриці за допомогою формули (12)

, (12)

де – алгебраїчне доповнення до елемента .

Знайдені алгебраїчні доповнення підставимо у формулу (12):

4. Розрахуємо - статистику за формулою (13):

(13)

де – діагональні елементи матриці

У нашому випадку Ці значення підставимо у формулу (13). Одержимо

; ;

Фактичні значення статистики порівнюються з табличними (додаток 4) при і ступенях свободи і рівні значущості . Якщо , то змінна з іншими не корелює. У протилежному випадку тобто, якщо , змінна корелює з іншими.

У нашому випадку при рівні значущості і ступенях свободи табличне значення критерію дорівнює Оскільки усі то можна зробити висновок, що

якась змінна корелює з іншими.

5. Знайдемо часткові коефіцієнти кореляції.

Часткові коефіцієнти кореляції характеризують тісноту зв’язку між двома змінними при умові, що третя не впливає на цей зв’язок.

Частковий коефіцієнт приблизно дорівнює парному. Це свідчить про наявність мультиколінеарності між змінними та .

6. Розрахуємо значення статистик:

Табличне значення статистики при 7 ступенях свободи і рівні значущості 0,05 (додаток 5) дорівнює . Якщо , то між відповідними змінними не має мультиколінеарності. У протилежному випадку тобто, якщо , між відповідними змінними існує суттєва мультиколінеарність.

Знайдене фактичне значення критерію більш табличного значення. Можна зробити висновок, що між змінними та існує суттєва мультиколінеарність.

Таким чином, лінійна залежність між змінними є явищем мультиколінеарності і буде негативно впливати на кількісні параметри економетричної моделі. Щоб позбавитися від мультиколінеарності один з чинників треба виключити із розгляду. З подальшого розгляду виключимо, наприклад, змінну .