Нелинейные уравнения

В последнее время были открыты динамические системы, пове­дение траекторий которых описывается нелинейными уравнениями, обнаруживающие странное поведение - все траектории этих систем, несмотря на полностью детерминированное поведение каждой, ха­отическим образом приближаются к некоторому притягивающему множеству (аттрактору). Это множество носит название странного аттрактора. Такова, например, система Лоренца 1967:

Э та система описывает движение так называемой мелкой воды. Замечательно, что странный аттрактор для этой системы представ­ляется в виде произведения канторова множества на единичный от­резок (рис. 12). Здесь удивительным образом появляется множество Кантора, по поводу самого существования которого на рубеже веков было сломано столько копий.

(Бифуркация - качественная перестройка всей фазовой картины сис­темы.) Обнаружилось, что траектории, приближаясь к странному ат­трактору, находятся как бы вблизи каждой точки этого множества, и поэтому вопрос, где же находится каждая из них в определенный мо­мент, становится лишенным смысла. Таким образом, вопрос о пред­определенности для таких траекторий становится лишенным смысла. В случае системы Лоренца в рамках теории детерминированных сис­тем можно наблюдать превращение их в свою противоположность системы хаотические.

Для иллюстрации того, каким образом детерминированное пове­дение превращается в хаотическое, приведем следующее преобразо­вание - ^преобразование пекаря». Рассмотрим единичный квадрат на плоскости. Преобразование (квадрата на себя) - растяжение по оси ОХ вдвое и сжатие по оси OY вдвое. Такое преобразование, прове­денное бесконечное число раз, абсолютно детерминировано, однако проследить за поведением конкретной точки абсолютно невозможно. Все в таком поведении зависит от знаков в двоичном разложении числа - координат точки (рис. 13).

Нельзя сказать, что хаотичность в нелинейных системах была замечена в математике только после Лоренца. В работах Пуанкаре в начале XX века было открыто странное поведение самой классичес­кой системы - задачи трех тел. Задача трех тел: описать поведе­ние системы из трех материальных тел, двигающихся по законам всемирного тяготения. Дело в том, что двигающаяся по законам все­мирного тяготения пара тел, может вращаться только вокруг своего движущегося центра тяжести наподобие гантели, но уже три тела при определенном соотношении между их массами могут обнаруживать хаотическое поведение. Однако этому удивительному явлению при­давалось не очень много значения, тем более удивительно, что это относится к самой фундаментальной системе - системе, движущейся по законам всемирного тяготения.

Вообще наш век можно назвать веком рождения нелинейного анализа. В различных областях стали множиться примеры нелиней­ных систем, которые описывают качественную перестройку пове­дения системы: возникновение новых структур; катастрофические изменения (тюремные бунты), возникла даже новая теория с гром­ким названием теория катастроф. Методы исследования таких систем - системы Лоренца, социальных систем - опираются на теорию би­фуркаций. Бифуркация - качественное изменение фазового портрета при прохождении параметра в системе через какой-либо бифуркаци­онный порог. Например, система, обнаруживающая фокус в точке О, превращается в систему с седлом в этой точке, иногда такое пове­дение можно назвать катастрофическим, но, конечно же, не всегда. Математически теория бифуркаций опирается из разложение по ма­лому параметру в окрестности особого значения, т. е., конечно, на линейную теорию.

В последнее время к этим явлениям привлечено значительное внимание различных специалистов - от философов до физиков. Есть надежда, что изучение таких систем даст ключ к пониманию раз­вития из простых систем сложных и глубоко структурированных. К примеру, в какой момент и каким образом масса клеток развивающе­гося плода превращается в живой организм со специализацией своих частей.

Еще одно замечательное применение нелинейного анализа - тео­рия солитонов. Явление отдельной уединенной волны было замечено и описано еще в 1834 году Дж.С. Расселом, который наблюдал ее в канале, соединенном с Темзой.

В настоящее время эта теория превратилась в достаточно об­ширную и разработанную теорию - теорию солитонов, т. е. теорию волн, которые ведут себя как частицы. Эти волны имеют ограничен­ную область, в которой они наблюдаются, они могут особым обра­зом взаимодействовать между собой, преодолевать преграды и т. п., что характерно для частиц. Такое математическое явление, как соли-тон, наполняет новым пониманием корпускулярноволновую теорию

Э

вещества, света. Тем более что уравнения, в которых наблюдаются солитонные решения, это уравнения Шредингера.

то уравнение, основное в квантовой теории, мы обсудим ниже в связи с вероятностной интерпретацией квантовой механики.