МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра математического анализа и теории функций

Ю.В. Помельников

ФИЛОСОФАМ О МАТЕМАТИКЕ И МАТЕМАТИКАМ О ФИЛОСОФИИ

Краткий курс лекций

Волгоград 2000

Рецензент д-р ф.-м. наук В.Г. Ткачев

Печатается по решению учебно-методической комиссии математического факультета (протокол № 2 от 15 мая 2000 г.)

Помельников Ю.В.

Философам о математике и математикам о философии: Краткий курс лекций. — Волгоград: Издательство Волгоградского государственного университета, 2000. — 44 с.

Данная работа происходит из курса лекций, прочитанных на математическом и историческом факультетах, и может быть использована как пособие при изучении курса математики на философском факультете и по истории математики на математическом факультете.

© Ю.В. Помельников, 2000

© Издательство Волгоградского

государственного университета, 2000

Противоречивость в понятии числа натурального и вещественного

Еще древним грекам была известна бесконечность ряда нату­ральных чисел. Более того, многие арифметические задачи, напри­мер бесконечность множества простых чисел, т. е. чисел делящихся на самих себя и на единицу, были ими решены.

Необходимо упомянуть и так называемую процедуру соизмери­мости или исчерпания, где два отрезка разной длины сопоставлялись с помощью следующей процедуры:

• сначала целое число экземпляров отрезка 1 укладывалось в отрезок 2, пока это возможно;

• затем отрезок 1 делился на целое число равных частей, и уже

и здесь все в порядке, если на некотором этапе удается получить нулевой остаток. Однако если данный процесс оказывается бесконеч­ным, то завершить процесс соизмерения оказывается невозможным, по крайней мере за конечное время. Какой же выход для себя на­шли древние греки? Они разделили понятие числа, где они оперирова­ли в основном целыми и дробно-рациональными числами, и понятие геометрического отрезка, где обычные арифметические операции не производились. Отсюда и проистекают все задачи о построении при помощи геометрических инструментов - здесь чувствуется опасение: не суметь доказать существования отрезка произвольной длины, не сумев предъявить процедуру (конечную) его построения.

Здесь в качестве знаковой будем считать проблему длины диаго­нали единичного квадрата √2. Очевидно, что подобный отрезок име­ет право на существование (его легко построить), но говорить о его длине приходится весьма осторожно, т. к. процедура соизмеримости его с единичным отрезком не может быть окончена - она бесконечна.

Доказательство несоизмеримости √2 с единичным отрезком бы­ло известно грекам. Предположим, что √2 = m/n , где – m/n несократи­мая дробь. Тогда, возводя это равенство в квадрат, получим

m² = 2n²

- значит, т = 2к - четное и делится на два, тогда

4k² = 2n²

и, значит, п - четное. Тогда дробь m/n - сократимая.

Замечательный пример математического прозрения мы находим у величайшего математика Архимеда. Для вычисления объема ша­ра он пользовался процедурой исчерпания шара при помощи тонких по высоте цилиндров, на которые шар разбивается параллельными плоскостями. Примечательно, что для оправдания этой процедуры он пользовался системой рычагов и подвешивал эти цилиндры так, что из них получался конус, соизмеримый с шаром. С именем Архиме­да связывается аксиома Архимеда, которая до сих пор присутствует в любой теории вещественного числа: для любой пары чисел а и Ь найдется натуральное число п такое, что а < nb. Очевидна связь этой аксиомы с процессом соизмерения отрезков или процедурой исчерпания.

В самом обнаженном виде проблема потенциальной и актуальной бесконечности была выявлена в замечательных парадоксах Зенона.

Потенциальной бесконечностью, или бесконечностью становящей­ся, будем называть последовательный процесс, в котором каждый следующий шаг возможен и осуществляется после предыдущего, без конца. Подобно тому как понимали бесконечность Вселенной греки, Ахиллес всегда имеет возможность бросить копье дальше с того мес­та, где оно приземлилось в предыдущий раз.

Актуальной бесконечностью, или бесконечностью ставшей, будем называть результат бесконечного процесса или некоторую совокуп­ность, состоящую из бесконечного множества частей. Для нашего

Ахиллеса этот объект - Вселенная, которая уже содержит в себе все возможные броски копья Ахиллеса.

Парадокс Ахиллес и черепаха. Представим себе Ахиллеса, дого­няющего черепаху. Разобьем этот процесс на следующие шаги: пока Ахиллес пройдет половину пути, отделяющего его от черепахи, чере­паха проползет некоторое, пусть в сто раз меньшее, расстояние; на втором шаге Ахиллесу приходится преодолевать половину этой сотой части, да еще половину половины оставшейся после первого шага, и т. д. Этот процесс половинного деления никак не кончается, что не поз­воляет Ахиллесу догнать черепаху. Не будет никакой разницы в этом парадоксе, если вместо черепахи рассмотреть неподвижный столб, к которому Ахиллес никогда не сможет дойти (рис. 2).

Суть этого парадокса состоит в том, что в любом отрезке на­ходится две бесконечности: первая - потенциальная - деление на все меньшие половинные части; вторая - актуальная - сумма всех этих половинок.

Еще один важный для нас парадокс Зенона мы изложим в не­сколько адаптированном виде. Парадокс полета стрелы, или парадокс мгновенной скорости: полет стрелы может быть представлен как про­цесс последовательного прохождения в пространстве различных по­ложений - значит, чтобы описать мгновенное движение или опре­делить мгновенную скорость, мы должны представить себе процесс бесконечного деления на все более мелкие части пространства (про­межутков) между последовательными положениями стрелы. Такой процесс не может завершиться, однако мгновенная скорость стрелы есть результат завершенного такого процесса. Понятно, что здесь то же самое противоречие между двумя бесконечностями - потенциаль­ной и актуальной.

В обыденном сознании мы обычно не испытываем никаких не­удобств, пользуясь понятием движения или длины отрезка. Но если спросить себя, имеем ли мы право пользоваться результатом прин­ципиально незавершимого процесса, то ответ, скорее всего, будет от­рицательным. Но, как мы видели только что, в любом отрезке или в любом движении мы это делаем.