2. (Достаточность). Фундаментальная последовательность сходится (имеет конечный предел).
Сначала покажем, что фундаментальная
последовательность ограничена. Пусть
,
тогда, согласно условию Коши,
,
в частности
.
Так как
,
где
,
последовательность ограничена.
Согласно теореме Больцано-Вейерштрасса, из ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность .
Пусть
.
Имеем
В силу фундаментальности этой
последовательности
.
Если
,
то
,
то есть
.
Теорема доказана.
Пример. Покажем, что
расходится.
Запишем отрицание к условию Коши:
.
Пусть
,
тогда
.
Таким образом,
,
при котором выполняется отрицание
условия Коши.
Функции.
Каждому элементу множества
ставится в соответствие по некоторому
закону
единственный элемент множества
.
Функция задается аналитически или
графически. Монотонная функция имеет
обратную функцию. Различают четные,
нечетные и функции общего вида.
Определение. (По Коши)
,
если
определена в некоторой окрестности
точки
,
быть может кроме самой этой точки, и
если
.
В определении предела удобно использовать
вместо неравенств понятия окрестностей
.
Введем обозначения:
- выколотая окрестность числа
размера
.
- окрестность числа
размера
.
- окрестность
размера
.
- окрестность
размера
.
- правая половины окрестности числа
размера
.
- левая половины окрестности числа
размера
.
Определение.
,
если
определена на правой половине окрестности
точки
,
быть может кроме самой этой точки, и
если
Определение*. (По Гейне)
,
если
.
Теорема. Определения по Коши и по Гейне эквивалентны.
Пример. Доказать по определению
.
Запишем определение:
.
Когда значения нашей функции принадлежат
,
аргумент
принадлежит интервалу
.
Нам необходимо найти максимальный
размер окрестности
принадлежащий указанному интервалу.
Окрестность
- интервал симметричный относительно
числа 2. Используя график функции и
изображения окрестностей, находим, что
.
Пример. Доказать, что
.
Сформулируем отрицание к определению
предела по Гейне:
.
Оно выполняется для последовательности
,
которая сходится к нулю, а последовательность
не имеет конечного предела (можно
показать при помощи Критерия Коши).
Теорема. Если
,
где
-
конечное число, то на некоторой окрестности
-ограничена,
то есть
.
Доказательство. Пусть
,
тогда
.
Преобразуем последнее неравенство:
.
Отсюда имеем, что для любого
,
т.е. функция ограничена числом
.
Теорема доказана.
Теорема. (О сохранении знака). Если
,
где
-
конечное число, то на некоторой окрестности
,
если
,
и
,
если
.
Доказательство. Пусть
,
тогда
.
Последнее неравенство запишем в виде:
.
Если
,
то из левого неравенства имеем
.
Если
,
то из правого неравенства имеем
.
Теорема доказана.
Теорема. (О зажатой функции). Если
,
и на некоторой окрестности
,
тогда
.
Доказательство. Используя последнее
неравенство и определения пределов
функций
и
,
запишем:
.
Из этого выражения следует, что для
и
выполняется неравенство
.
Таким образом,
.
Теорема доказана.
Теорема. Пусть
и
,
тогда:
1)
;
2)
;
3)
.
Теорема легко доказывается с использованием определения предела по Гейне и аналогичной теоремы для последовательностей.
Теорема. (Критерий Коши). Для того,
чтобы существовал конечный предел
,
необходимо и достаточно, чтобы
была определена в некоторой окрестности
точки
,
быть может кроме самой этой точки, и
.
(Без доказательства).