Лекции по сопромату2 / SOPROMAT_lekcii2

Лекция № 33. Теорема Кастильяно.

Установим теперь метод определения перемещений, основанный на вычислении потенциальной энергии деформации. Поставим задачу нахождения перемещений точек упругой системы по направлению действия приложенных к этой системе внешних сил.

Будем решать эту задачу в несколько приемов; сначала рассмотрим более простой случай (Рис.1), когда на балку в сечениях 1, 2, 3,... действуют только сосредоточенные

силы , )... и т. д. Под действием этих сил балка прогнется по кривой и останется в равновесии.

Прогибы сечений 1, 2, 3,..., в которых приложены силы , , ,..., обозначим , , ,... и т. д. Найдем один из этих прогибов, например — прогиб сечения, в котором приложена сила .

Переведем балку, не нарушая равновесия, из положения в смежное положение , показанное на фиг. 328 пунктиром. Это можно сделать различными приемами: добавить новую нагрузку, увеличить уже приложенные и т. д.

Мы представим себе, что для перехода к смежному деформированному состоянию к

силе сделана бесконечно малая добавка (Рис.1); чтобы при этом переходе не нарушать равновесия, будем считать, что эта добавка прикладывается статически, т. е. возрастает от нуля до окончательного значения медленно и постепенно.

Расчетная модель к теореме Кастильяно.

При переходе от состояния балки к состоянию все нагрузки Р опустятся, значит, их потенциальная энергия уменьшится. Так как равновесие не нарушалось, то

уменьшение, энергии нагрузок целиком преобразовалось в увеличение

потенциальной энергии деформаций балки dU. Величина измеряется работой внешних сил при переходе балки из положения в положение II:

Изменение dU потенциальной энергии деформации, являющейся функцией сил , , ,..., произошло за счет очень малого приращения одной из этих независимых переменных , поэтому дифференциал такой сложной функции равен:

Что касается величины , то эта работа в свою очередь является разностью работы нагрузок Р для положений и :

Работа при одновременном и постепенном возрастании сил Р равна:

При вычислении работы учтем, что ее величина всецело определяется окончательной формой деформированной балки и не зависит от порядка, в котором производилась нагрузка.

Предположим, что мы сначала нагрузили нашу балку грузом ; балка очень немного прогнется (Рис.2, положение III), и прогибы ее в точках 1, 2, 3 будут

. Работа статически приложенной нагрузки будет равна . После этого

начнем постепенно нагружать балку одновременно возрастающими грузами , , .

Рис.2. Расчетная модель к теореме Кастильяно.

К первоначальным прогибам добавятся прогибы (Рис.2). При этой

стадии нагружения силы , , произведут работу , кроме

этого, произведет работу уже находившийся на балке груз ; он пройдет путь , и так как при втором этапе нагружения он оставался постоянным, то его работа равна

Балка займет положение , показанное на Рис.2 пунктиром.

Таким образом, полная работа, проделанная внешними нагрузками при переходе балки из недеформированного состояния в положение , будет равна.

Теперь вычислим

Пренебрегая слагаемым второго порядка малости, получаем:

Подставляя полученные значения dU и в исходное уравнение, находим

или

Таким образом, в рассмотренном случае прогиб точки приложения сосредоточенной силы , равен частной производной потенциальной энергии деформации по этой силе.

Полученный результат можно обобщить. Пусть на балку помимо сосредоточенных сил Р действуют в разных сечениях еще пары сил М (Рис.3). Мы можем повторить

предыдущие рассуждения, считая, что балка переводится из положения в положение

путем добавки к паре . Весь ход рассуждений остается без изменений, надо будет лишь при вычислении работы моментов , ... умножать их не на прогибы, а на углы поворота , ,... тех сечений, где эти пары приложены. Тогда dU будет равно

станет , и в итоге получим:

Рис.3. Обобщенная расчетная модель к теореме Кастильяно.

Так как — это перемещение, соответствующее силе , a — перемещение,

соответствующее силе то полученные нами результаты можно формулировать так:

производная потенциальной энергии деформации по одной из независимых внешних сил равна перемещению, соответствующему этой силе. Это и есть так называемая теорема Кастильяно, опубликованная в 1875 г.

Определим (Рис.4) прогиб свободного конца В балки, защемленной другим концом А. Балка нагружена сосредоточенной силой, приложенной в точке В. В данном случае возможно непосредственное применение теоремы Кастильяно, так как отыскивается прогиб сечения, где приложена сосредоточенная сила Р

Рис.4. Пример расчетной схемы для расчета перемещений.

Начало отсчета абсциссы х сечения можно выбирать произвольно, лишь бы формула для М (х) была возможно проще. Отсчитывая х от точки В, получаем для момента в

любом сечении балки

и

Подставляя эти значения в формулу для и интегрируя, чтобы охватить всю длину балки от 0 до l, получаем:

Лекция № 34. Теоремы о взаимности работ и Максвелла — Мора.

Пользуясь понятием о потенциальной энергии, можно установить следующую зависимость между деформациями в различных сечениях балки.

Если к балке, нагруженной силой приложить затем статически силу в сечении 2, то к прогибу точки приложения силы от этой же силы прибавится (Рис.1) прогиб

от силы , равный ; первый значок у буквы у указывает точку, для которой вычисляется прогиб; второй — обозначает силу, вызывающую этот прогиб.

Рис.1. Расчетная схема к теореме о взаимности работ

Полная работа внешних сил составится из трех частей: работы силы на вызванном ею прогибе , т. е. , работы силы на вызванном ею прогибе ее точки

приложения , т. е. , наконец, работы силы на прогибе ее точки приложения от силы , т. е. .

Таким образом, накопленная в стержне при действии обеих сил энергия будет равна:

Это количество энергии деформации зависит лишь от конечных значений сил и прогибов и не зависит от порядка нагружения.

Если к балке, загруженной силой , приложить затем силу то, повторив цепь вычислений, получим:

Сравнивая оба значения U, получаем:

т. е. работа силы (или первой группы сил) на перемещениях, вызванных силой (второй группой сил), равна работе силы на перемещениях, вызванных силой .

Это и есть теорема о взаимности работ. Ее можно сформулировать и иначе: работа

первой силы ( ) при действии второй ( ) равна работе второй силы при действии первой.

Теорема Максвелла—Мора.

Прогиб балки в точке приложения сосредоточенной силы Р равен:

аналогичное выражение мы имеем и для угла поворота с заменой производной

на . Выясним, что представляют собой эти производные.

Если на балке расположена какая угодно нагрузка из сосредоточенных сил , ,

,..., моментов , ,..., сплошных нагрузок , ..... то момент М(х) в любом сечении такой балки выражается линейной функцией от нагрузок:

Рис.2. Частная расчетная модель метода Максвелла — Мора.

Коэффициенты , ,..., , …, , ... являются функциями пролета балки, расстояний точек приложения сил и моментов от опор и абсциссы х взятого сечения.

Пусть мы отыскиваем прогиб точки приложения силы ; тогда

так как , ,..., , ,..., , ..., , ,..., , …, , ... при этом

дифференцировании постоянны. Но можно рассматривать как численную величину момента М в любом сечении балки от действия так называемой единичной нагрузки, т.

е. силы ; действительно, подставляя в формулу вместо его частное значение, единицу, и приравнивая все остальные нагрузки нулю, получаем .

Например, для балки, изображенной на Рис2, а, изгибающий момент равен:

Производная ; но это как раз и будет выражение изгибающего момента нашей балки, если мы ее нагрузим силой 1, приложенной в той же точке В, где расположена сила Р (Рис.2, б), и направленной в ту же сторону.

Аналогично, производная изгибающего момента М (х) по паре сил численно представляет собой изгибающий момент от пары с моментом, равным единице,

приложенной в том же сечении, где имеется пара , и направленной в ту же сторону.

Таким образом, вычисление производных изгибающего момента можно заменить вычислением изгибающих моментов от единичной нагрузки. Эти моменты мы будем

обозначать буквой .

Таким образом, для отыскания перемещения (прогиба или угла поворота) любого сечения балки, вне зависимости от того, приложена или не приложена в этом сечении соответствующая сила, необходимо найти выражение для изгибающего момента М от

заданной нагрузки и момента от соответствующей единичной нагрузки,

приложенной в сечении, где ищем перемещение ; тогда это перемещение выразится формулой

Эта формула была предложена Максвеллом в 1864 г. и введена в практику расчета О. Мором в 1874 г. Если мы в полученном выражении под подразумеваем прогиб, то

момент надо вычислять от сосредоточенной единичной силы, приложенной в той точке, где мы отыскиваем прогиб; при вычислении же угла поворота в качестве единичной нагрузки прикладывается пара сил с моментом, равным единице.

Для примера рис.2 имеем:

(рис.2,а)

(рис.2,

б)

Знак плюс означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной нагрузки, знак минус — наоборот.

Если при определении изгибающих моментов придется делить балку на участки, то соответственно и интеграл в формуле распадется на сумму интегралов.

Сравнивая формулу Кастильяно с формулой Мора, нетрудно заметить, что они

Таким образом, для определения перемещения надо вычислить — площадь

эпюры М, умножить ее на ординату эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести площади и разделить на жесткость балки.

Определим этим способом угол поворота сечения D балки, изображенной на Рис.4, а; Балка загружена моментом М, приложенным в сечении В к консоли АВ. Эпюра М показана на Рис.4, б. Прикладываем в сечении D единичную пару, выбирая ее направление произвольно (Рис.4, в). Эпюра моментов от единичной нагрузки показана на рис.4, г. Так как М на участках DC и СВ равен нулю, то остается лишь один интеграл для участка АВ.

а) расчетная схема б)грузовая эпюра в)фиктивное состояние г) эпюра моментов от единичного момента

Рис.4. Иллюстрация метода Верещагина:

Площадь равна ; ордината эпюры под центром тяжести площади равна отсюда искомый угол поворота равен

Знак плюс показывает, что вращение происходит по направлению единичной пары, т. е. по часовой стрелке.