Ответы к тесту:

Номер задания	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Номер ответа	3	1	3	2	1	1	1	3	2	3

8. Модели временных рядов

Экономический анализ основан на исходных статистических данных. Если процесс их регистрации во времени t и само время фиксируются наряду со значениями анализируемых переменных x_ij(t_m) (i = 1,..., k – номер статистически обследованного объекта; j = 1,..., n – номер переменной; m = l,...N – порядковый номер времени регистрации значения переменной на i -ом объекте), то говорят о статистическом анализе панельных данных.

При фиксировании номера переменной j и номера объекта i расположенную в хронологическом порядке (т.е. по мере возрастания t_m) последовательность значений x_ij(t₁), x_ij(t_m),... , x_ij(t_m) называют временным рядом. Если одновременно рассматривают п таких одномерных временных рядов, т.е. исследуют взаимосвязанное поведение временных рядов для j = l,..., n, характеризующее динамику поведения п переменных, измеренных на i – ом объекте, то говорят о статистическом анализе многомерного временного ряда X(t)= x₁(t_m), x₂(t_m),…, x_n(t_m))^T, (m = 1,..,N). Здесь далее рассматриваются только одномерные временные ряды с дискретными по времени наблюдениями для равноотстоящих моментов наблюдения: t₂ – t₁ = t₃ – t₂ = t_N – t_N– l = ∆ (где ∆ – заданный период времени: минута, час, сутки, неделя, месяц, год и т.д.).

Временной ряд тогда проще представить в виде x(1), x(2), …, x(N), где x(t) – значение переменной, зафиксированной в t-м периоде времени (t = 1,...,N).

Временные ряды применяются для прогнозирования экономических показателей. При этом имеют в виду кратко – и среднесрочные прогнозы, так как долгосрочный прогноз требует обязательного применения методов анализа специальных экспертных оценок.

Использование доступных к моменту времени t = N наблюдений временного ряда для прогнозирования значений x(t) на один или несколько периодов времени вперед может явиться основой для:

– планирования в экономике, производстве, торговле;

– управления и оптимизации социально-экономических процессов;

– управления важными параметрами демографических процессов и экологии;

– принятия оптимальных решений в бизнесе.

Временной ряд отличается по своим свойствам от последовательности.

В качестве примера приведем аддитивную модель сезонности Тейла-Вейджа.

В экономической практике часто встречаются экспоненциальные тенденции. Поэтому перед использованием аддитивной модели члены анализируемого временного ряда заменяют их логарифмами. Преимущество аддитивной модели – в относительной простоте вычислений. Рассмотрим модель вида:

где: – уровень процесса после сглаживания сезонных колебаний;

– аддитивный коэффициент роста;

– аддитивный коэффициент сезонности;

-" белый шум".

Прогноз на момент t и п временных периодов вперед подсчитывают по формуле;

,

где Т – число временных периодов, содержащихся в полном сезонном цикле (обычно в году), a вычисляют по рекуррентным формулам:

,

;

где – параметры адаптации. Оптимальное значение этих параметров подбирают с помощью компьютера, вычисляя серии наборов для каждого набора параметров и сравнивая среднеквадратические ошибки полученных прогнозов.

Ряд x_k(t),t=l,...,N-k, получившийся из х(t) после применения к нему к-кратной процедуры метода последовательных разностей.

Модель данного процесса x(t),t=l,...,N записывается в виде:

Для модели с p=l,q=l,k=l это выражение принимает вид:

При описании несезонных временных рядов наиболее часто встречается модели с:

p = 0; q = 1; k =1;

p = 0; q = 2; k = 2;

p =1; q =1; k =1;

p =1; q =0; k =1;

p =2; q =0; k =1;

Идентификация моделей прежде всего заключается в подборе порядка k. Существуют два вида подбора. Первый основан на отслеживании поведения величины в зависимости от k: в качестве верхней оценки для к определяют то значение k ₀, начиная с которого тенденция к убыванию гасится и само значение стабилизируется. Второй основан на анализе поведения автокорреляционных функций процесса. На практике k обычно равно 0,1 или 2.