2.2 Позиційні та метричні задачі. Способи перетворення проекцій
Позиційними називають задачі, пов’язані з розв’язуванням на епюрі питань взаємного розміщення геометричних фігур або їх елементів. До них належать задачі на взаємну належність і на взаємний перетин.
Метричними називають задачі, пов’язані з визначенням на епюрі дійсних величин відстаней, кутів і плоских фігур.
Метричні і позиційні задачі на епюрі розв’язуються значно легше, якщо задані геометричні фігури займають особливе положення відносно площин проекцій. Тому, щоб спростити розв’язування задач, часто доцільно вдатися до такого перетворення заданих проекцій на епюрі, яке дає змогу перевести геометричні елементи із загального положення до особливого. У результаті цього нові проекції дають змогу просто і зручно виявити форму елементів, взаємне положення та дійсні величини прямих, плоских фігур, кутів тощо.
Перетворення епюра відображає зміну положення геометричних образів або площин проекцій у просторі. В основному використовуються два способи перетворення проекцій: заміна площин проекцій та обертання.
2.2.1 Взаємне положення двох площин
Дві площини у просторі можуть бути паралельними або перетинними. У першому випадку вони не мають спільних точок, у другому спільними точками цих площин є лінія їх перетину.
Дві площини паралельні (рис. 2.10) тоді, коли дві перетинні прямі однієї площини відповідно паралельні двом перетинним прямим другої площини.
Рисунок 2.10 – Взаємно паралельні площини
Якщо площини паралельні, то їх однойменні сліди також паралельні. Справедливим буде і обернене твердження.
Виходячи з того, що сліди площини є нульовими горизонталями, фронталями і профілями, справедливий також висновок: у паралельних площинах горизонталі, фронталі і профілі однієї площини паралельні відповідно до горизонталей, фронталей і профілей другої площини.
Дві перетинні площини (рис. 2.11) перетинаються по прямій лінії, для побудови якої досить визначити дві точки, що одночасно належать обом площинам, або одну таку точку і напрямок прямої перетину.
Рисунок 2.11 – Перетинні площини
Взаємно перпендикулярні площини – це окремий випадок двох площин, які перетинаються під прямим кутом. Дві площини взаємно перпендикулярні тоді, коли:
одна площина проведена через перпендикуляр до іншої;
одна перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у другій площині.
Якщо йдеться про зображення на епюрі двох взаємно перпендикулярних площин, слід мати на увазі, що:
однойменні сліди двічі проекційних площин взаємно перпендикулярні на тій площині проекцій, до якої обидві задані площини перпендикулярні (рис. 2.12-а);
однойменні сліди проекційних площин взаємно перпендикулярні лише на тій площині проекцій, до якої обидві задані площини перпендикулярні, інші сліди – ні (рис. 2.12-б);
якщо дві площини довільного положення на епюрі мають однойменні сліди перпендикулярні, то це не є ознакою перпендикулярності цих площин.
а) б)
Рисунок 2.12 – Взаємно перпендикулярні площини