Содержание дисциплины

Раздел 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Тема 1. Элементы векторной алгебры

Основные понятия и определения. Линейные операции над векторами: сложение, вычитание, умножение на скаляр. Разложение вектора на составляющие, координаты вектора. Длина вектора. Направляющие косинусы вектора, их взаимосвязь. Расстояние между двумя точками пространства. Скалярное произведение: определение, свойства. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей. Вычисление угла между векторами, условие перпендикулярности векторов. Определение векторного произведения, его свойства. Формула для вычисления через координаты сомножителей. Вычисление площадей параллелограмма, треугольника. Условие коллинеарности векторов. Смешанное произведение векторов: определение, формула для вычисления через координаты сомножителей, его приложение к вычислению объемов параллелепипеда и пирамиды, условие компланарности трех векторов.

Тема 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Полярная система координат. Комплексные числа. Общее уравнение прямой. Нормальный вектор. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой в «отрезках». Вычисление угла между прямыми. Точка пересечения двух прямых. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Уравнение прямой, проходящей через точку с заданным угловым коэффициентом. Расстояние от точки до прямой.

Тема 3. Кривые второго порядка

Общее уравнение кривых второго порядка. Определения окружности, эллипса, гиперболы и параболы. Их канонические уравнения. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Построение кривых в системе координат. Полярные уравнения.

Тема 4. Аналитическая геометрия в пространстве

Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору. Уравнение плоскости в «отрезках». Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Общие уравнения прямой. Канонические и параметрические уравнения прямой. Направляющий вектор. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Тема 5. Поверхности второго порядка

Эллипсоид. Гиперболоиды: однополостный и двуполостный. Параболоиды: эллиптический и гиперболический. Конус. Цилиндры. Вырожденные случаи: пересекающиеся, параллельные плоскости. Прямая, точка, мнимая поверхность. Классификация поверхностей второго порядка в пространстве на основе их канонических уравнений. Приведение к каноническому виду. Схематическое построение поверхностей.

Раздел 2. МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

Системы линейных уравнений

Тема 6. Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений

Матрицы. Действия с ними. Определитель матрицы. Его вычисление и свойства. Обратная матрица, условия ее существования. Решение систем уравнений методами Крамера, Гаусса и с помощью обратной матрицы. Ранг матрицы. Исследование системы уравнений с неизвестными.

Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Тема 7. Системы векторов и уравнений

Векторная форма системы линейных уравнений. Разложение вектора по системе векторов. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Базис и ранг системы векторов. Ортогональные системы векторов. Системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений: их фундаментальные системы решений. Линейные преобразования.

Тема 8. Матрицы и квадратичные формы

Собственные значения и собственные векторы матрицы. Приведение квадратных матриц к диагональному виду. Приведение симметрических матриц к диагональному виду ортогональным преобразованием. Квадратичные формы. Канонический вид. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Приведение квадратичных форм к каноническому виду методом Лагранжа и ортогональными преобразованиями.