I Элементы линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии

1. Определители второго и третьего порядков. Основные свойства. Минор и алгебраическое дополнение. Понятие определителя n-го порядка и его вычисление.

2. Матрицы, действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы.

3. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера ̶ Капелли (формулировка). Правило Крамера.

4. Решение систем линейных уравнений матричным методом.

5. Метод Гаусса. Однородные системы линейных уравнений и их решение.

6. Векторы. Линейные операции над векторами и их свойства.

7. Проекция вектора на ось. Свойства проекций.

8. Линейная зависимость векторов. Разложение вектора по базису.

9. Декартова система координат. Координаты вектора.

10. Направляющие косинусы, длина вектора.

11. Деление отрезка в данном отношении.

12. Скалярное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.

13. Векторное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.

14. Смешанное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.

15. Прямая линия на плоскости. Различные способы задания. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

16. Плоскость в пространстве. Различные способы задания. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

17. Прямая в пространстве. Различные способы задания. Взаимное расположение прямых в пространстве.

18. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

19. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Определение и вывод канонических уравнений. Исследование формы кривых по их каноническим уравнениям.

20. Поверхности второго порядка. Исследование поверхностей методом параллельных сечений.

II Введение в математический анализ

21. Функция, область ее определения и способы задания. Сложные и обратные функции. Свойства (четность, периодичность, монотонность, ограниченность) и графики функций.

22. Гиперболические функции, их свойства и графики.

23. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.

24. Число e . Натуральные логарифмы.

25. Предел функции в точке, односторонние пределы. Геометрическая иллюстрация определений.

26. Предел функции в бесконечности. Геометрическая иллюстрация.

27. Бесконечно малые функции и их свойства. Бесконечно большие функции. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.

28. Основные теоремы о пределах.

29. Первый и второй замечательные пределы.

30. Сравнение бесконечно малых функций.

31. Непрерывность функций в точке и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация.

32. Свойства функций непрерывных в точке.

33. Свойства функций непрерывных на отрезке (теоремы Вейерштрасса, Коши, о промежуточных значениях) и их геометрический смысл.

III Дифференциальное исчисление функции одной переменной

34. Задачи, приводящие к определению производной.

35. Производная функции, ее геометрический и механический смыслы.

36. Односторонние производные. Производная сложной и обратной функции.

37. Основные правила дифференцирования.

38. Основные формулы дифференцирования.

39. Дифференциал функции и его геометрический смысл.

40. Свойства дифференциала и инвариантность его формы. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Производные и дифференциалы высших порядков.

41. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ролля (с доказательством), Лагранжа (с доказательством), Коши (без доказательства).

42. Правило Лопиталя (доказательство для случая неопределенности ).

43. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций и построению графиков (возрастание, убывание, экстремум, выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба, асимптоты графика функции).