- •Учебно-методические материалы к изучению дисциплины «Методы оптимизации» (конспект лекций)
- •1. Классификация задач оптимизации
- •2. Классификация математических методов и моделей в экономике
- •3. Линейное программирование
- •3.1. Постановка задачи линейного программирования
- •3.2. Экономическая интерпретация задач линейного программирования
- •3.3. Требования совместности условий
- •3.4. Графический метод решения задач линейного программирования
- •3.5. Симплекс-метод
- •3.6. Модифицированный симплекс-метод
- •3.7. Построение опорных планов
- •3.8. Условия оптимальности
- •3.9. Метод искусственного базиса
- •3.10. Транспортная задача
- •3.11. Двойственные задачи линейного программирования
- •3.12. Устойчивость оптимизационного решения
- •4. Нелинейное программирование
- •4.1. Классификация и общая постановка задач нелинейного программирования
- •4.2. Метод множителей Лагранжа
- •4.3. Возможные обобщения метода множителей. Седловая точка функции Лагранжа
- •4.4. Оптимальные решения при ограничениях-неравенствах. Теорема Куна - Таккера
- •4.5. Выпуклое программирование. Задача выпуклого программирования
- •4.6. Квадратичное программирование
- •4.7. Градиентные методы
- •5. Оптимизация на графах
- •5.1. Основные понятия теории графов
- •5.2. Связность
- •5.3. Подграфы
- •5.4. Матрица графов
- •5.5. Потоки в сетях
- •5.6. Задача о максимальном потоке сети
- •5.7. Задача о кратчайшем пути
- •5.8. Задача коммивояжера
- •5.9. Оптимизация сетевого графика
- •5.10. Методы оптимизации производственной программы
- •6. Динамическое программирование
- •6.1. Общая постановка задачи динамического программирования
- •6.2. Принцип оптимальности. Уравнение Беллмана
- •6.3. Простейшие экономические задачи, решаемые методом динамического программирования
- •7. Математические модели потребительского поведения и спроса
- •7.1. Отношение предпочтения и функция полезности
- •7.2. Решение задачи об оптимальном выборе потребителя
- •7.3. Функции спроса. Коэффициент эластичности
1. Классификация задач оптимизации
Во всех сферах человеческой деятельности большое место занимает принятие решений. Для постановки задачи принятия решения необходимо выполнение двух условий: 1) должно быть много решений; 2) вариант должен быть выбран по определенному принципу.
Очевидно, что если нет хотя бы двух возможных вариантов решения, то выбирать нечего и задача принятия решения отсутствует. Так, если предприятию задан план, устанавливающий номенклатуру и количество выпускаемой продукции, то задачи определения плана нет, так как план задан.
Известны два принципа выбора: волевой и критериальный.
Волевой выбор, наиболее часто используемый, применяют при отсутствии формализованных моделей как единственно возможный.
Критериальный выбор заключается в принятии некоторого критерия и сравнении возможных вариантов, соответствующих критерию. Вариант, для которого выбранный критерий принимает наилучшее решение, называют оптимальным (от лат. optimus), а задачу принятия наилучшего решения - задачей оптимизации.
Решение не может быть оптимальным вообще, во всех смыслах, а только в одном, единственном смысле, определяемом выбранным критерием.
Критерий оптимизации называют целевой функцией, функцией цели, функционалом и др.
Любую задачу, решение которой сводится к нахождению максимума или минимума целевой функции, называют задачей оптимизации. Задачи менеджмента чаще всего связаны с нахождением условного экстремума целевой функции при известных ограничениях, накладываемых на ее переменные.
В качестве целевой функции при решении различных оптимизационных задач принимают количество или стоимость выпускаемой продукции, затраты на производство, сумму прибыли и т. п. Ограничения обычно - ресурсы: людские, материальные, денежные.
Можно показать, что оптимизационные задачи менеджмента, различные по своему содержанию и реализуемые с использованием стандартных программных продуктов, соответствуют тому или иному классу экономико-математических моделей. Классификацию некоторых основных задач оптимизации, реализуемых менеджментом на производстве, можно выполнить по следующим признакам: функция управления; состав оптимизационных задач; класс экономико-математических моделей (табл. 1).
Таблица 1
Функция управления |
Задачи оптимизации |
Класс экономико-математических моделей |
Техническая и организационная подготовка производства |
Моделирование состава изделий. Оптимизация состава марок, шихты, смесей. Оптимизация раскроя листового материала, проката. Оптимизация распределения ресурсов в сетевых моделях комплексов работ. Оптимизация, планировок предприятий, производств и оборудования. Оптимизация маршрута изготовления изделий. Оптимизация технологий и технологических режимов |
Дискретное (целочисленное) программирование. Линейное программирование. Сетевое планирование и управление. Имитационное моделирование. Динамическое программирование. Нелинейное программирование. Теория графов |
Технико-экономическое планирование |
Построение сводного плана и прогнозирование показателей развития предприятия. Оптимизация портфеля заказов и производственной программы. Оптимизация распределения производственной программы по плановым периодам |
Балансовые (матричные) модели «затраты - выпуск». Корреляционно-регрессионный анализ. Экстраполяция тенденций. Линейное программирование |
Оперативное управление основным производством |
Оптимизация календарно-плановых нормативов. Календарные задачи. Оптимизация стандарт-планов. Оптимизация краткосрочных планов производств |
Нелинейное программирование. Имитационное моделирование. Линейное программирование. Целочисленное программирование |
Другой важный признак систематизации - классификация моделей по ее элементам: исходным данным, искомым переменным, зависимостям, описывающим цель задачи (моделирования) и ограничения (рис. 1).
В зависимости от исходных данных выделяют 3 типа математического описания задач управления: детерминированные, вероятностные и задачи в условиях неопределенности.
Исходные данные, которые заданы определенными величинами, называют детерминированными.
Рис. 1
Детерминированные задачи формулируются в условиях полной определенности о значениях используемых параметров, составе и виде влияющих ограничивающих условий. Такое описание имеет однозначность при математическом представлении и позволяет получить однозначное решение.
В детерминированной задаче всегда известно, что стратегия действий А приведет к результату a, а стратегия действий В - к результату b. Остается только определить, какой результат имеет большую полезность, чтобы выбрать лучшую из двух стратегий.
Исходные данные, которые зависят от ряда случайных факторов, называют случайными величинами. Например, имеющееся наличие ресурсов зависит от своевременности их поставки, производительность оборудования - от его исправности и т.д. Вероятностные, или, как их еще называют, стохастические задачи, включают в своей постановке задачи параметры, задаваемые в виде случайных величин, для которых известны вероятности достижения возможных значений. Такие задачи называют также задачами с риском, и их решение формулируется как конкретные результаты с вероятностной оценкой каждого из них.
Заметим, что детерминированные задачи можно рассматривать как предельный вариант задач с риском, в которых вероятность появления значений используемых параметров равна единице.
Оценки вероятностей бывают объективными и субъективными. Объективные вероятности получаются путем определения отношения числа интересующих нас событий к общему числу наблюдаемых событий.
Задачи в условиях неопределенности возникают в ситуациях, когда нет предварительной вероятностной оценки возможных будущих ситуаций или значений параметров, их характеризующих. В подобных задачах используют своеобразный подход для описания оценки предпочтительности управленческих стратегий. Оценка максимин предполагает предпочтительность стратегии действий, у которой достигается максимально полезный результат при наиболее неблагоприятном развитии событий. Оценка минимакс ориентирует на выбор стратегии, требующей наименьших расходов при наиболее неблагоприятном развитии событий.
Переменные величины могут быть непрерывными и дискретными. Непрерывные величины могут принимать в заданном интервале любые значения (например, процентное содержание элементов в марке материала). Дискретные, или целочисленные, принимают только целые значения (например, нельзя ввести в эксплуатацию 1,5 здания).
Зависимости между элементами могут быть линейными и нелинейными. Линейными называют зависимости, в которые входят переменные в первой степени и нет их произведения. Если входят переменные не в первой степени или есть произведение переменных, то зависимости называют нелинейными.
Сочетание различных элементов модели приводит к различным классам задач оптимизации, которые требуют разных методов решения, следовательно, и разных программных средств (табл. 2).
Таблица 2
Исходные данные |
Переменные |
Зависимости |
Задача |
Детерминированные |
Непрерывные |
Линейные |
Линейного программирования |
Целочисленные (дискретные) |
Линейные |
Целочисленного программирования |
|
Непрерывные, целочисленные |
Нелинейные |
Нелинейного программирования |
|
Случайные |
Непрерывные |
Линейные |
Стохастического программирования
|