13. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода.
Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями
x = (t), y= (t), ≤ t ≤,
где (t), (t) непрерывно дифференцируемые на отрезке [, ] функции. Тогда
. (17)
Пусть кривая L задана явно уравнением
y=g (x), a≤ x ≤b,
где g (x) непрерывно дифференцируемая на [a, b] функция. Тогда
.
(18)
Рисунок
13
,
где L
часть окружности x2
+ y2
= 4,
расположенная в первой четверти
координатной плоскости.
Решение. Параметрическое уравнение данной кривой L имеет вид x = 2cost , y=2sint, 0 ≤ t ≤/2. Положив
применим формулу (17). Сначала вычислим
.
Далее
.
Теперь
по формуле (17) имеем
Рисунок
14
,
где ОА –
части параболы
от точки
до
точки
.
Решение. Кривая ОА приведена на рисунке 14. Положим
По формуле (23) имеем
14. Криволинейный интеграл 2-го рода.
Рассмотрим ориентированную незамкнутую кривую L = АВ в плоскости хОу с началом в точке А и концом в точке В; z=f (x,y) функция, определенная на кривой L. Разобьем кривую L последовательными точками
А0=А, А1, А2, . . . , Аn=В
на дуги 1= А0А1, 2= А1А2, . . . , n= Аn-1Аn и на дуге i выберем произвольную точку Мi(ti , si) (i = 1, 2, . . . , n) (рис. 15). Обозначим xi = xi xi1 , yi = yi yi1, а наибольшую из длин дуг i (i = 1,2, . . . , n).
Составим интегральную сумму функции f (x,y) по кривой L относительно х
Определение.
Предел
,
если он существует, называется
криволинейным
интегралом 2-го
рода от
функции f
(x,y)
по кривой L
относительно
х и обозначается
(19)
Рисунок
15
непрерывна на кривой L
за исключением, быть может, конечного
числа точек и ограничена на L,
то криволинейный интеграл 2-го рода (19)
существует.
Некоторые свойства криволинейного интеграла 2-го рода. Для криволинейных интегралов 2-го рода выполняются свойства линейности и аддитивности (см. аналогичные свойства для тройного интеграла в п. 10).
Свойство антиориентированности
.
Это свойство связано с тем, что при изменении направления обхода кривой все приращения xi и, следовательно, интегральная сумма Sx изменяют знак.
Аналогично определяется криволинейный интеграл 2-го рода от функции g(x,y) по кривой L относительно у
, (20)
Где
.
Пусть
на ориентированной кривой L
определены
две функции
и
.
Тогда сумма интегралов (19) и (20) называется
общим
криволинейным интегралом 2-го
рода от
функций
и
по кривой L
и обозначается
(21)
Замечание. Криволинейный интеграл 2-го рода аналогично определяется и для пространственной ориентированной кривой.
17. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода.
Пусть ориентированная кривая L задана параметрическими уравнениями
x = (t), y= (t), ≤ t ≤,
где (t), (t) непрерывно дифференцируемые на отрезке [, ] функции. Тогда
. (23)
Пределы интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L: если ориентации кривой L соответствует изменение параметра t от до , то в формуле (23) выбирается первый вариант пределов интегрирования. В противном случае в (23) нужно выбирать вариант пределов интегрирования в скобках.
Пусть кривая L
задана явно
уравнением
,
,
где
непрерывно дифференцируемая на отрезке
[a,
b]
функция. Тогда
. (24)
Пределы интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L.
Пусть кривая L
задана явно
уравнением
,
,
где
непрерывно дифференцируемая на отрезке
[a,
b]
функция. Тогда
. (25)
Примеры.
11) Вычислить
,
где кривая ВА
дана из
рис.13.
Решение.
Положим
,
и применим
формулу (23). При этом учтем, что при
движении по кривой от точки В
до точки А
параметр t
изменяется
от /2
до 0.
.
12)
Вычислить
,
где кривая
ОА дана
на рис. 14.
Решение.
Кривая ОА
задается
уравнением
Положив
,
применим формулу (23), при этом учтем тот факт, что при движении по кривой от точки О до А переменная x меняется от 0 до 4.
13)
Вычислить
где L
замкнутая кривая ОВАО
из рис. 13.
Решение. Кривая L состоит из линий ОВ, ВА и АО. По свойству аддитивности
. (26)
Отрезок
ОВ
задается уравнением
при
.
Значит, dy
= 0.Тогда по формуле (24)
.
Отрезок
ВA
задается уравнением
при
.
Тогда dх
= 0 и по формуле (25) имеем
.
Кривая АО
задается
уравнением
при изменении значения у
от 4 до 0.
Значит,
и по формуле (25) получаем
.
Подставив вычисленные интегралы в (26), получаем
Задача 9. Вычислить криволинейный интеграл первого рода.
9.1.
,
L:
,
. 9.2.
,
L:
,
.
9.3.
,
L:
,
. 9.4.
,
L:
,
.
9.5.
,
L:
,
. 9.6.
,
L:
,
.
9.7.
,
L:
,
. 9.8.
,
L:
,
.
9.9.
,
L:
,
. 9.10.
,
L:
,
.
9.11.
,
L:
,
. 9.12.
,
L:
,
.
9.13.
,
L:
,
. 9.14.
,
L:
,
.
9.15.
,
L:
,
. 9.16.
,
L:
,
.
9.17.
,
L:
,
. 9.18.
,
L:
,
.
9.19.
,
L:
,
. 9.20.
,
L:
,
.
9.21.
,
L:
,
. 9.22.
,
L:
,
.
9.23.
,
L:
,
. 9.24.
,
L:
,
.
9.25.
,
L:
,
. 9.26.
,
L:
,
.
9.27.
,
L:
,
. 9.28.
,
L:
,
.
Задача 10. Вычислить криволинейный интеграл второго рода.
10.1.
,
L
– дуга параболы y
= x2
от точки А(1,1)
до точки В(2,4).
10.2.
,
L
отрезок прямой, соединяющий точки (0,0)
и (4,8).
10.3.
L
ломаная ОАВ:
А(2,0),
В(4,2),
О
– начало координат.
10.4.
,
L
отрезок прямой, соединяющий точки (0,6)
и (3,0).
10.5.
,
L
– дуга кривой
от точки (0,0) до точки (2,8).
10.6.
,
L
отрезок прямой, соединяющий точки (0,)
и (,0).
10.7.
L
ломаная ОВА:
О(0,0,0),
В(0,2,0),
А(0,2,1).
10.8.
,
L
отрезок прямой, соединяющий точки (0,0)
и (1,1).
10.9.
,
L
дуга кривой
от
точки (0,0) до точки (1,1).
10.10.
,
L –
винтовая линия
,
,
.
10.11. , L дуга кривой от точки (0,0) до точки (1,1).
10.12.
,
L
отрезок прямой, соединяющий точки (0,0)
и (π,
2 π).
10.13.
,
L –
участок винтовой линии
,
от точки (2,0) до точки (0,3).
10.14.
,
L
дуга кривой
от точки (0,0) до точки (1,1).
10.15. , L отрезок прямой, соединяющий точки (0,0) и (1,1).
10.16.
,
L
треугольник, образованный прямыми
,
,
.
10.17.
,
L
дуга линии
,
.
10.18.
,
L
дуга кривой
,
,
.
10.19.
,
L
отрезок прямой от А(2,1,0
1) до В
(4,3,1).
10.20.
,
L
треугольник, образованный осями координат
и прямой
.
10.21.
,
L
дуга кривой
,
.
10.22.
,
L
дуга кривой
,
,
.
10.23.
,
L
отрезок прямой от А(1,
0, 0) до В(1,
1, 1).
10.24.
,
L
дуга кривой
от точки (0,1) до точки (1,е).
10.25.
,
L
отрезок прямой от А(1,2,1)
до В
(3,3,2).
10.26.
,
L
отрезок прямой от А(1,0,2)
до В
(2,-1,0).
10.27.
,
L
дуга кривой
,
.
10.28.
,
L
дуга кривой
от точки (0,0) до точки (1,1).
18. Поверхностный
интеграл первого рода (по площади
поверхности).
Пусть в точках кусочно-гладкой поверхности
с кусочно-гладкой границей
определена ограниченная функция
.
Разобьем поверхность
на части
и составим интегральную сумму
, (26)
где
– площадь ячейки
.
Пусть
– наибольший диаметр ячеек
.
Рассмотрим такую последовательность
разбиений
,
что
.
Если при этом последовательность
стремится к конечному пределу
,
независящему от способа дробления
поверхности
и выбора точек
,
то число
называется поверхностным
интегралом первого рода
от функции
и обозначается
. (27)
Свойства поверхностных интегралов первого рода:
1).
.
2). Линейность,
3.) Аддитивность.