Функциональные ряды

Если сходится равномерно, на l, то .

Рассмотрим (т.к. это сумма конечного числа слагаемых). Тогда . То, что сходится равномерно, означает, что .

Теорема Вейерштрасса: Пусть – аналитические функции, сходится равномерно в замкнутой области, входящей в D и непрерывен на границе области D. Тогда

1. – аналитическая функция в этой области;

2. ;

3. сходится равномерно в любой замкнутой ограниченной области .

1. Возьмём произвольный контур . Тогда , т.к. функции аналитичны (по теореме Коши), следовательно, аналитичен (по теореме Морера).

2. Возьмём окружность с центром в точке z и радиусом R . Тогда . При этом сходится равномерно на , следовательно, .

3. Д ля будет , где – граница области . Рассмотрим , т.к. , а сходится равномерно.

Ряд вида называется рядом Лорана.

сходится на окружности , а – вне этой окружности . При этом, если , то они сходятся равномерно в соответствующих областях.

Теорема о разложении в ряд Лорана: Пусть функция аналитична в кольцевой области . Тогда эта функция может быть представлена рядом Лорана, причём единственным образом.

Г раница области G . Сузим область, чтобы функция на границах была аналитична. Тогда . Разложим (геометрическая прогрессия). Тогда . Рассмотрим теперь (здесь уже ) (геометрическая прогрессия) . Тогда .

Т.к. аналитична, то , где l – произвольный контур. Тогда .

Докажем единственность: и (при (При ; при , где ). Тогда , т.е. это разложение единственно.

Однозначность определения аналитической функции своими значениями на бесконечном множестве точек:

Пусть и аналитичны в области D, и для . Тогда в D.

Рассмотрим . Тогда для , следовательно, , где . Пусть теперь . Тогда .

Пусть аналитична в G, и . Тогда , причём для какого-то k , т.е. , причём . Тогда точка называется нулём кратности k. При этом .

Классификация изолированных особых точек

Пусть определена в области . Тогда точка называется изолированной (пример: ).

Если везде, кроме аналитична, то , где первое слагаемое называется главной частью, а второе – правой частью.

Точка называется центральной особой, если главная часть равна нулю.

Точка называется полюсом порядка k, если главная часть содержит конечное количество членов.

Точка называется существенно особой, если главная часть содержит бесконечное количество членов.

– центральная особая точка тогда и только тогда, когда ограничена в некоторой окрестности точки , т.е. и при .

1. Пусть – центральная особая точка. Тогда .

2. . Рассмотрим при . Устремим к 0: .

– полюс тогда и только тогда, когда при .

1. Если – полюс, то при при .

2. Пусть при . Тогда имеет в точке центральную особую точку, т.к. при , следовательно, существует окрестность точки , в которой ограничена, а, значит, , где . Разложим в ряд Тейлора: .

Теорема Сохоцкого: Точка – существенно особая для , если для будет .

Пусть точка – существенно особая и пусть и для и будет . Пусть также . Тогда при будет – устранимая особая точка для . Функцию можно представить в виде: , где . Тогда , следовательно, если , то точка устранимая особая точка, а если , то – полюс, что противоречит тому, что точка – существенно особая.

Вычет в особой точке равен , где – –1-й коэффициент в ряде Лорана. Обозначение: .

Если у функции в точке полюс, то , где . Тогда .

Теорема Коши о вычетах: Пусть есть замкнутый спрямляемый контур L и имеет конечное число особенностей в этом контуре: . Тогда .

. Окружим каждую точку контуром . Тогда .