§2.5 Формула Остроградского-Лиувилля

Пусть известно, что EMBED Equation.3 – ФСР некоторого уравнения (однородного, линейного) порядка n. Можно ли восстановить уравнение по ФСР?

Пусть EMBED Equation.3 – любое решение искомого уравнения. Тогда EMBED Equation.3 – линейно зависимы, следовательно, EMBED Equation.3 . Разложим определитель по последнему столбцу: EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 (правило дифференцирования определителя: производная определителя представляется суммой определителей, получающихся из исходного дифференцированием элементов одной строки: EMBED Equation.3 ). Следовательно, EMBED Equation.3 – решение уравнения EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Можно показать, что уравнение восстанавливается однозначно по ФСР, если выбирать коэффициент при старшей производной равным 1.

Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между уравнениями и пространствами решений. Предположим теперь, что исходное уравнение известно: EMBED Equation.3 . Интегрируя, получаем: EMBED Equation.3 – формула Остроградского-Лиувилля. Её можно использовать для понижения порядка уравнения, если известно хотя бы одно нетривиальное решение этого уравнения. Тем самым иногда удаётся решить уравнение с переменными коэффициентами.

§2.6 Решения неоднородных линейных уравнений. Метод вариации произвольных переменных. Функция Коши.

Рассмотрим неоднородное уравнение EMBED Equation.3 .

Пусть EMBED Equation.3 – ФСР уравнения EMBED Equation.3 – любое частное решение неоднородного уравнения EMBED Equation.3 . Тогда общее решение уравнения EMBED Equation.3 представляется в виде EMBED Equation.3 .

Пусть EMBED Equation.3 – произвольное решение уравнения EMBED Equation.3 . Имеем два решения: EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 , следовательно, EMBED Equation.3 – решение соответствующего однородного уравнения EMBED Equation.3 существуют постоянные EMBED Equation.3 , при которых EMBED Equation.3 , т.е. EMBED Equation.3 . Т.к. EMBED Equation.3 – произвольно, то все решения можно представить так: EMBED Equation.3 .

Общее решение неоднородного линейного уравнения представляется суммой частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения.
Общее решение неоднородного линейного уравнения можно получить, решив соответствующее однородное уравнение и подобрав каким-либо образом частное решение неоднородного уравнения.

Если частное решение подобрать не удаётся, это уравнение можно решить методом вариации произвольных постоянных:

Положим, что ФСР соответствующего однородного уравнения EMBED Equation.3 построена. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: EMBED Equation.3 . Варьируем произвольные постоянные: EMBED Equation.3 . Будем искать решение уравнения EMBED Equation.3 в виде EMBED Equation.3 : вычисляем производную EMBED Equation.3 , и требуем, чтобы EMBED Equation.3 . Вычисляем вторую производную: EMBED Equation.3 , и требуем, чтобы EMBED Equation.3 . …. Вычисляем EMBED Equation.3 -ю производную: EMBED Equation.3 , и требуем, чтобы EMBED Equation.3 . Вычисляем n-ю производную: EMBED Equation.3 . Подставим теперь вычисленные производные в уравнение: EMBED Equation.3 . Т.к. EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 . Соберём все полученные соотношения в систему: EMBED Equation.3 . В результате мы имеем систему алгебраических линейных уравнений относительно EMBED Equation.3 . Это неоднородная система с невырожденной матрицей, т.к. её определитель совпадает с EMBED Equation.3 (т.к. EMBED Equation.3 – ФСР), следовательно, система имеет единственное решение при любой функции EMBED Equation.3 . Пусть это решение представляется в виде EMBED Equation.3 . Тогда EMBED Equation.3 . Подставляя эти функции в формулу EMBED Equation.3 , получим: EMBED Equation.3 . Уточним вид функции EMBED Equation.3 . Решая систему по правилу Крамера, замечаем, что EMBED Equation.3 , т.е. определяется только EMBED Equation.3 . В результате имеем: EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 . Функция EMBED Equation.3 называется функцией Коши. EMBED Equation.3 – частное решение неоднородного уравнения, но в то же время EMBED Equation.3 – решение соответствующего однородного уравнения, если её рассматривать как функцию x при фиксированном s. При этом её можно получить, решая задачу Коши для однородного уравнения с начальными условиями при EMBED Equation.3 .