§ 1.5 Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения, разрешённого относительно производной

Рассмотрим уравнение EMBED Equation.3 , предполагая, что EMBED Equation.3 определена в области D. Зафиксируем точку EMBED Equation.3 и дополним уравнение начальным условием EMBED Equation.3 . В результате получим задачу Коши.

Пусть функция EMBED Equation.3 непрерывна в D, причём в любой ограниченной замкнутой подобласти EMBED Equation.3 удовлетворяет условию Липшица: EMBED Equation.3 , где L – постоянная Липшица, EMBED Equation.3 . Тогда найдётся отрезок EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 , на котором наша задача Коши имеет единственное решение.

Эта теорема часто называется теоремой Пикара. В ней непрерывность функции EMBED Equation.3 обеспечивает существование решения, а условие Липшица отвечает за его единственность.

При условиях теоремы уравнение EMBED Equation.3 имеет единственное решение вида EMBED Equation.3 , где C – произвольная постоянная.

Приведённая теорема позволяет выделять множество так называемых обыкновенных точек:

Точка EMBED Equation.3 называется обыкновенной (регулярной) точкой уравнения EMBED Equation.3 , если найдётся окрестность этой точки, через каждую точку которой проходит единственная интегральная линия уравнения.

Точка EMBED Equation.3 , не являющаяся обыкновенной, называется особой точкой уравнения.

Особые точки:

1. Граничные точки.

2. Точки неединственности.

3. Предельные точки для множества особых.

Особая точка EMBED Equation.3 называется изолированной, если найдётся окрестность этой точки, в которой нет других особых точек. В противном случае она называется неизолированной.

Если из особых точек составлена линия, то такая линия называется особой линией. Если особая линия является интегральной линией, то она называется особой интегральной линией.

Решение уравнения, соответствующее особой интегральной линии – особое решение.

Классическим примером особой интегральной линии является огибающая семейства интегральных линий (например, EMBED Equation.3 в уравнении EMBED Equation.3 ).

§ 1.6 Уравнения, не разрешённые относительно производных.

В общем случае уравнения первого порядка представляются в виде EMBED Equation.3 .

Уравнением, не разрешённым относительно производной, называют уравнение вида EMBED Equation.3 , которое не удаётся свести к виду EMBED Equation.3 .

Рассмотрим уравнение вида EMBED Equation.3 , предполагая, что EMBED Equation.3 определена в некоторой области EMBED Equation.3 . Пусть точка EMBED Equation.3 : найдётся такое p, что EMBED Equation.3 . Дополнив уравнение начальным условием EMBED Equation.3 , получим задачу Коши.

Задача Коши называется корректно поставленной, если через точку EMBED Equation.3 проходит конечное число интегральных линий уравнения EMBED Equation.3 , имеющих различные угловые коэффициенты.

В случае, когда задача Коши поставлена корректно, решение этой задачи можно выделить однозначно, дополнительно указав угловой коэффициент. Выбор углового коэффициента можно произвести, решая конечное уравнение EMBED Equation.3 относительно p. Тогда p и есть угловой коэффициент.

Пусть EMBED Equation.3 непрерывна в D и имеет непрерывные производные EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 . Пусть также в точке EMBED Equation.3 . Тогда задача Коши имеет единственное решение на некотором EMBED Equation.3 , удовлетворяющее условию EMBED Equation.3 .

Методы решения:

1. Прямое разрешение уравнения EMBED Equation.3 . Результат – система уравнений EMBED Equation.3 . Решая эту систему, находим решение исходного уравнения.

2. Параметризация. Интегральные линия уравнения описываются в параметрическом виде. В простейших случаях можно обойтись одним параметром: EMBED Equation.3 . Так решаются, например, уравнение Клеро EMBED Equation.3 и уравнение Лагранжа EMBED Equation.3 .

Для уравнений, неразрешённых относительно производной также можно ввести понятие особой точки, особого решения.