§5.3 Исследование на устойчивость по первому приближению
Рассмотрим произвольную
нелинейную систему EMBED Equation.3
.
Предположим, что EMBED Equation.3
определена при EMBED Equation.3
.
Пусть для этой системы выполнены условия
теоремы существования и единственности
и EMBED Equation.3
на EMBED Equation.3
.
Последнее условие обеспечивает
существование точки покоя EMBED Equation.3
.
Далее будем полагать, что функция EMBED
Equation.3
в окрестности точки EMBED Equation.3
допускает разложение EMBED Equation.3
,
где EMBED Equation.3
имеет оценку: EMBED Equation.3
,
где M
и
– положительные постоянные. Сопоставим
системе линейную систему EMBED Equation.3
.
Эта система называется системой первого
приближения, для первоначальной системы.
Система первого приближения называется стационарной, если матрица A постоянна.
Точка покоя EMBED Equation.3 системы EMBED Equation.3 является также точкой покоя и системы первого приближения.
Будем говорить, что система EMBED Equation.3 допускает исследование точки покоя EMBED Equation.3 на устойчивость по первому приближению, если эта точка является одновременно устойчивой (неустойчивой), как для системы EMBED Equation.3 , так и для системы EMBED Equation.3 .
В случае, когда система EMBED Equation.3 допускает исследование на устойчивость по первому приближению, это исследование можно провести для более удобной системы EMBED Equation.3 .
Пусть EMBED Equation.3 допускает разложение EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 имеет оценку: EMBED Equation.3 , где M и – положительные постоянные. Пусть при этом система первого приближения EMBED Equation.3 стационарна. Тогда
(теорема об устойчивости): Если все собственные значения матрицы A имеют отрицательную вещественную часть, то исследование на устойчивость по первому приближению точки покоя EMBED Equation.3 для системы EMBED Equation.3 возможно, причём точка покоя EMBED Equation.3 асимптотически устойчива.
(теорема о неустойчивости): Если хотя бы одно собственное значение имеет положительную вещественную часть, то исследование на неустойчивость по первому приближению точки покоя EMBED Equation.3 для системы EMBED Equation.3 возможно, причём точка покоя EMBED Equation.3 неустойчива.
Эти теоремы не охватывают все возможные случаи. Так, они не работают, если у матрицы A все собственные значения с неположительной вещественной частью и есть собственное значение с нулевой вещественной частью. Такой случай называется критическим. В критическом случае исследование на устойчивость по первому приближению невозможно.
На неустойчивость либо неустойчивость точки покоя EMBED Equation.3 оказывают влияние только знаки вещественных частей собственных значений матрицы A, но не модули этих собственных значений. Отсюда следует, что для исследования на устойчивость достаточно установить знаки вещественных частей собственных значений, не решая векового уравнения. Для этого можно воспользоваться существующими критериями, например, критерием Гурвица.