§ 1.4 Линейные уравнения

Линейными уравнениями I-го порядка будем называть уравнения вида EMBED Equation.3 . Здесь EMBED Equation.3 – коэффициент линейного уравнения, EMBED Equation.3 – неоднородность линейного уравнения.

Если EMBED Equation.3 , то уравнение называется неоднородным, иначе – однородным. Если в уравнении формально отбросить EMBED Equation.3 , то получится соответствующее однородное уравнение.

Будем полагать, что функции EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 определены на EMBED Equation.3 . Зафиксируем точку EMBED Equation.3 . Дополним линейное уравнение начальным условием EMBED Equation.3 . В результате мы получили задачу Коши.

Пусть EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 непрерывны на EMBED Equation.3 . Тогда задача Коши имеет единственное решение, определённое на EMBED Equation.3 .

1. Единственность: Пусть задача Коши имеет два различных решения EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 . Тогда EMBED Equation.3 удовлетворяет уравнению EMBED Equation.3 и начальному условию EMBED Equation.3 . Имеем уравнение с разделяющимися переменными, EMBED Equation.3 расходится, следовательно задача Коши имеет единственное решение EMBED Equation.3 (см. второе замечание § 1.2), что противоречит условию.

2. Существование: Пусть существует функция EMBED Equation.3 , являющаяся решением задачи Коши. Получим представление для неё: EMBED Equation.3 . Умножим обе части тождества на EMBED Equation.3 . Преобразуем получившееся выражение: EMBED Equation.3 . Таким образом, решение задачи Коши, если оно существует, представляется в виде этого тождества. Рассмотрим его. В правой части имеем непрерывно дифференцируемую функцию, определённую при EMBED Equation.3 . Подставив её в уравнение, проведя преобразования в обратном порядке, убедимся, что она – решение этого уравнения. Таким образом, решения задачи Коши существуют.

Линейное уравнение всегда имеет интегрирующий множитель EMBED Equation.3 .

Способы решения линейных уравнений:

1. Метод интегрирующего множителя.

2. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) – это метод решения неоднородных уравнений. В нём можно выделить два этапа:

   0. Решаем соответствующее однородное уравнение EMBED Equation.3 . Общее решение – EMBED Equation.3 (C – любое число).

   1. Полагаем EMBED Equation.3 и ищем решение линейного уравнения в виде EMBED Equation.3 . Подставляем EMBED Equation.3 в уравнение: EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 . Отсюда EMBED Equation.3 . Подставим EMBED Equation.3 в EMBED Equation.3 . Здесь EMBED Equation.3 – любое число. Эта формула даёт общее решение линейного уравнения.

Следовательно, решение задачи Коши легко получить соответствующим EMBED Equation.3 . Общее решение неоднородного линейного уравнения, представляющееся суммой общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного линейного уравнения, можно получить, решив соответствующее однородное уравнение и подобрав каким-либо образом частное решение неоднородного уравнения.

Общие свойства линейных уравнений:

1. Пусть EMBED Equation.3 – решение уравнения EMBED Equation.3 . Тогда EMBED Equation.3 – тоже решение этого же уравнения.

2. Пусть EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 – решения уравнения EMBED Equation.3 . Тогда EMBED Equation.3 – тоже решения этого же уравнения.

3. Принцип суперпозиции: пусть в неоднородном уравнении EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 – решение уравнения EMBED Equation.3 . Тогда EMBED Equation.3 – решение уравнения EMBED Equation.3 .