- •Глава 0. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
- •Глава 1. Уравнения первого порядка.
- •§ 1.1 Уравнения, разрешённые относительно производных; их геометрическая интерпретация.
- •§ 1.2 Уравнение с разделяющимися переменными.
- •§1.3 Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
- •§ 1.4 Линейные уравнения
- •§ 1.5 Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения, разрешённого относительно производной
- •§ 1.6 Уравнения, не разрешённые относительно производных.
- •Глава 2. Уравнения порядка выше первого.
- •§ 2.1 Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.
- •§ 2.2 Линейные уравнения. Общие свойства линейных уравнений.
- •§ 2.3 Решение однородных линейных уравнений
- •§ 2.4 Решение однородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами
- •§2.5 Формула Остроградского-Лиувилля
- •§2.6 Решения неоднородных линейных уравнений. Метод вариации произвольных переменных. Функция Коши.
- •Глава 3. Краевые задачи для линейного уравнения второго порядка
- •§ 3.2 Решение неоднородных краевых задач. Функция Грина.
- •§3.3 Однородные краевые задачи. Собственные значения и собственные функции.
- •Глава 0. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
- •Глава 1. Уравнения первого порядка.
- •§ 1.1 Уравнения, разрешённые относительно производных; их геометрическая интерпретация.
- •§ 1.2 Уравнение с разделяющимися переменными.
- •§1.3 Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
- •§ 1.4 Линейные уравнения
- •§ 1.5 Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения, разрешённого относительно производной
- •§ 1.6 Уравнения, не разрешённые относительно производных.
- •Глава 2. Уравнения порядка выше первого.
- •§ 2.1 Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.
- •§ 2.2 Линейные уравнения. Общие свойства линейных уравнений.
- •§ 2.3 Решение однородных линейных уравнений
- •§ 2.4 Решение однородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами
- •§2.5 Формула Остроградского-Лиувилля
- •§2.6 Решения неоднородных линейных уравнений. Метод вариации произвольных переменных. Функция Коши.
- •Глава 3. Краевые задачи для линейного уравнения второго порядка
- •§ 3.2 Решение неоднородных краевых задач. Функция Грина.
- •§3.3 Однородные краевые задачи. Собственные значения и собственные функции.
- •Глава 4. Системы дифференциальных уравнений.
- •§4.1 Нормальные системы.
- •§1.2 Линейные системы. Общие свойства линейных систем.
- •§4.3 Решение однородных линейных систем
- •§4.1. Решение однородных линейных систем с постоянными коэффициентами
- •Глава 5. Устойчивость решений дифференциальных уравнений
- •§5.1 Понятие устойчивости по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Точки покоя.
- •§5.2 Простейшие типы точек покоя на плоскости
- •§5.3 Исследование на устойчивость по первому приближению
- •§5.4 Прямой (второй) метод Ляпунова
- •Глава 6. Уравнения с частными производными первого порядка.
- •§6.2. Решение однородных линейных уравнений
- •§6.3. Решение квазилинейных уравнений
- •§6.4. Решение задачи Коши для квазилинейных уравнений
- •Глава 4. Системы дифференциальных уравнений.
- •§4.1 Нормальные системы.
- •§1.2 Линейные системы. Общие свойства линейных систем.
- •§4.3 Решение однородных линейных систем
- •§4.1. Решение однородных линейных систем с постоянными коэффициентами
- •Глава 5. Устойчивость решений дифференциальных уравнений
- •§5.1 Понятие устойчивости по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Точки покоя.
- •§5.2 Простейшие типы точек покоя на плоскости
- •§5.3 Исследование на устойчивость по первому приближению
- •§5.4 Прямой (второй) метод Ляпунова
- •Глава 6. Уравнения с частными производными первого порядка.
- •§6.2. Решение однородных линейных уравнений
- •§6.3. Решение квазилинейных уравнений
- •§6.4. Решение задачи Коши для квазилинейных уравнений
Глава 4. Системы дифференциальных уравнений.
§4.1 Нормальные системы.
В общем случае систему дифференциальных уравнений можно представить в виде EMBED Equation.3 . Имеем систему k уравнений относительно m неизвестных.
Введём: EMBED Equation.3 – порядок системы относительно неизвестной EMBED Equation.3 , а p общий порядок системы.
Пусть система приводится к виду EMBED Equation.3 . Эта система называется нормальной системой, порядок её равен n.
Предположим, что функции EMBED Equation.3 определены в некоторой области EMBED Equation.3 . Фиксируем точку EMBED Equation.3 и добавляем начальные условия: EMBED Equation.3 .
Пусть функции EMBED Equation.3 непрерывны в D и непрерывно дифференцируемы по EMBED Equation.3 . Тогда найдётся такой отрезок EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 , на котором задача Коши имеет единственное решение. Отметим, что решением системы называется совокупность функций EMBED Equation.3 , непрерывных и непрерывно дифференцируемых, которые, будучи подставленными в систему, превращают эту систему в систему тождеств.
При условиях теоремы общее решение системы имеет вид EMBED Equation.3 .
Геометрически решениям системы отвечает линия в пространстве переменных EMBED Equation.3 , называемая интегральной линией. Общему решению системы ставится в соответствие семейство интегральных линий. При условиях теоремы интегральные линии не пересекаются.
Пространство переменных EMBED Equation.3 называется фазовым пространством системы. Проекция интегральной линии на фазовое пространство называется фазовой траекторией системы. При этом обычно указывается также и направление движения по фазовой траектории при возрастании аргумента x. В общем случае даже при условиях теоремы фазовые траектории могут пересекаться.
Система EMBED Equation.3 называется автономной, если в правой части EMBED Equation.3 (не зависят явным образом от x).
Фазовые траектории автономной системы при условиях теоремы не пересекаются.
Совокупность фазовых траекторий системы называется фазовым портретом этой системы.
Системы уравнений вида EMBED Equation.3 оказывается удобным записывать в векторной форме: EMBED Equation.3 . Тогда эта система приводится к виду EMBED Equation.3 . Здесь EMBED Equation.3 .
§1.2 Линейные системы. Общие свойства линейных систем.
Рассмотрим системы вида EMBED Equation.3 . Такие системы будем называть линейными. Здесь A – матрица системы (матрица коэффициентов системы). Если A – постоянна, то эта система называется системой с постоянными коэффициентами, иначе – системой с переменными коэффициентами. Векторная функция EMBED Equation.3 – это неоднородность системы. Если EMBED Equation.3 , то система однородна, иначе – неоднородна.
Будем использовать обозначения: EMBED Equation.3 . Будем полагать, что EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 определены на EMBED Equation.3 .
Дополним систему условием: EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 – фиксирована. Имеем задачу Коши. Пусть EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 непрерывны на EMBED Equation.3 . Тогда задача Коши имеет единственное решение на всём EMBED Equation.3 .
Общие свойства линейных систем:
Если EMBED Equation.3 – решение системы EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 – тоже решение этой системы при любом постоянном С.
Если EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 – решения системы EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 – тоже решение этой системы.
(Принцип суперпозиции) Пусть EMBED Equation.3 и пусть EMBED Equation.3 – решение системы EMBED Equation.3 . Тогда EMBED Equation.3 – решение системы EMBED Equation.3 .
Пусть EMBED Equation.3 – решения системы EMBED Equation.3 . Тогда EMBED Equation.3 – решения этой же системы при любых постоянных EMBED Equation.3 .
Пусть EMBED Equation.3 – любое частное решение системы EMBED Equation.3 – решение системы EMBED Equation.3 . Тогда EMBED Equation.3 – решение системы EMBED Equation.3 .
Пусть система EMBED Equation.3 имеет комплексное решение EMBED Equation.3 . Тогда функции EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 будут вещественными решениями этой системы.