§ 1.2 Уравнение с разделяющимися переменными.

Рассмотрим уравнение EMBED Equation.3 в предположении, что EMBED Equation.3 определена на EMBED Equation.3 определена на EMBED Equation.3 . Такое уравнение называют уравнением с разделяющимися переменными.

Пусть EMBED Equation.3 непрерывна на EMBED Equation.3 непрерывна на EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 . Тогда через любую точку прямоугольника EMBED Equation.3 проходит единственная интегральная линия уравнения EMBED Equation.3 .

Условие EMBED Equation.3 в теореме является условием единственности.

Условие EMBED Equation.3 является слишком ограничительным. Например, уравнение EMBED Equation.3 этому условию не удовлетворяет на EMBED Equation.3 , т.к. EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 .

Условие единственности EMBED Equation.3 можно заменить более общим: единственность сохраняется, если EMBED Equation.3 расходится (здесь EMBED Equation.3 ). При сходимости этого интеграла единственности может не быть.

Уравнение EMBED Equation.3 при непрерывной функции EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 при любых начальных значениях EMBED Equation.3 имеет единственное решение.

§1.3 Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

Рассмотрим уравнение EMBED Equation.3 . Предположим, что функции M и N определены, непрерывны, непрерывно дифференцируемы и одновременно не обращаются в ноль в некоторой области D. Тогда уравнение EMBED Equation.3 – уравнение в полных дифференциалах, если EMBED Equation.3 .

Пусть EMBED Equation.3 . Тогда EMBED Equation.3 , т.е. EMBED Equation.3 . Таким образом, интегральные линии уравнения EMBED Equation.3 оказываются линиями уровня функции EMBED Equation.3 .

Функция EMBED Equation.3 называется первым интегралом уравнения EMBED Equation.3 .

Таким образом, общий интеграл уравнения можно получить, построив первый интеграл.

В случае односвязной области D уравнение EMBED Equation.3 является уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, когда EMBED Equation.3 .

П усть уравнение EMBED Equation.3 – уравнение в полных дифференциалах. Для построения EMBED Equation.3 можно учесть, что EMBED Equation.3 и восстановить EMBED Equation.3 . Можно также воспользоваться формулой EMBED Equation.3 . Здесь вычисляется криволинейный интеграл II-го рода по кривой, соединяющей точки EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 . Точка EMBED Equation.3 – фиксированная точка из D. Результат интегрирования не зависит от выбора пути интегрирования, т.к. подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции, следовательно, пути интегрирования можно выбирать по своему усмотрению. Часто удобным оказывается составить его из участков, параллельным координатным осям.

Если EMBED Equation.3 , уравнение EMBED Equation.3 не является уравнением в полных дифференциалах, однако его можно попытаться привести к такому с помощью интегрирующего множителя EMBED Equation.3 . Умножим EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 и потребуем, чтобы полученное уравнение было уравнением в полных дифференциалах, т.е. EMBED Equation.3 является решением уравнения EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Таким образом, выбирая функцию EMBED Equation.3 среди решений этого уравнения и умножая на неё исходное уравнение, получаем уравнение в полных дифференциалах. Такая функция EMBED Equation.3 называется интегрирующим множителем уравнения.

Заметим, что полученное уравнение является уравнением с частными производными I-го порядка. Решение такого уравнения в общем случае может оказаться более сложной задачей, чем решение исходного уравнения.

Нас интересует только одно решение этого уравнения и в некоторых случаях его можно подобрать.