§4.1. Решение однородных линейных систем с постоянными коэффициентами

Рассмотрим систему уравнений EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 . Будем искать решение в виде EMBED Equation.3 . Подставляем EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 – собственный вектор, а  – собственное значение матрицы A. Собственные значения – корни характеристического (векового) уравнения EMBED Equation.3 . Это алгебраическое уравнение относительно  степени n.

1. Пусть уравнение EMBED Equation.3 имеет простые вещественные корни EMBED Equation.3 . Тогда матрица A имеет простые собственные значения EMBED Equation.3 . Каждому EMBED Equation.3 сопоставляем собственный вектор EMBED Equation.3 . Имеем собственные векторы EMBED Equation.3 . Они линейно независимы. По формуле EMBED Equation.3 получаем решение системы EMBED Equation.3 . Эти решения линейно независимы (т.к. определитель Вронского отличен от 0), их n, следовательно, они образуют ФСР. Общее решение системы EMBED Equation.3 .

2. Корни характеристического уравнения EMBED Equation.3 простые, но среди них есть комплексные. Пусть EMBED Equation.3 – корни уравнения EMBED Equation.3 . Они являются собственными значениями матрицы A. Пусть EMBED Equation.3 – какой-либо корень. Если он вещественный, то по формуле EMBED Equation.3 получаем решение: EMBED Equation.3 . Пусть теперь EMBED Equation.3 – комплексный корень, EMBED Equation.3 . Тогда в силу вещественности матрицы A существует ещё один корень EMBED Equation.3 . Этим комплексным значениям соответствуют комплексные собственные векторы EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 , причём EMBED Equation.3 , следовательно, корням EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 сопоставляется комплексные решения EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 . При этом EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . Выбираем EMBED Equation.3 . В итоге двум комплексным корням поставлены в соответствие два вещественных решения. Разбираясь таким образом с каждым корнем уравнения EMBED Equation.3 , получаем n решений. Эти решения линейно независимы, следовательно, они образуют ФСР, следовательно, можно записать общее решение системы EMBED Equation.3 .

3. Пусть уравнение EMBED Equation.3 имеет корни EMBED Equation.3 , соответственно, кратности EMBED Equation.3 . Имеем EMBED Equation.3 . Если EMBED Equation.3 , то все корни простые. Этот случай уже рассмотрен. Пусть EMBED Equation.3 , тогда существует хотя бы один корень EMBED Equation.3 кратности EMBED Equation.3 . По-прежнему сопоставляем каждому корню решения системы EMBED Equation.3 , число которых равно кратности корня. Поскольку EMBED Equation.3 – кратный корень, ему можно сопоставить по формуле EMBED Equation.3 в общем случае несколько решений EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 – линейно независимые собственные векторы, соответствующие собственному значению EMBED Equation.3 . Если EMBED Equation.3 , недостающие решения можно искать в виде EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 – неопределённые постоянные векторные коэффициенты (удобнее взять EMBED Equation.3 ). Выбирая EMBED Equation.3 , достраиваем недостающие решения до EMBED Equation.3 . Поступая таким образом с каждым кратным корнем, получаем n решений системы EMBED Equation.3 . В общем случае эти решения комплексные. Выделяя вещественные и мнимые части у построенных решений (как в пункте 2), получаем n вещественных решений системы EMBED Equation.3 . Они линейно независимы, следовательно, они образуют ФСР. Получаем общее решение системы EMBED Equation.3 . Отметим, что можно ограничиться и выбором комплексной ФСР. В этом случае при записи общего решения системы произвольные постоянные также должны быть комплексными.

Можно предложить ещё один способ решения систем уравнений с постоянными коэффициентами. Он позволяет решать и неоднородные системы EMBED Equation.3 : делаем замену EMBED Equation.3 , где C – невырожденная постоянная матрица. EMBED Equation.3 . Выбираем C таким, что EMBED Equation.3 – наиболее простая матрица, например, диагональная.

Решения неоднородных линейных систем. Метод вариации постоянных. Матрица Коши.

Рассмотрим неоднородную систему EMBED Equation.3 .

Пусть EMBED Equation.3 – фундаментальные системы решений, соответствующие системе EMBED Equation.3 – частное решение системы EMBED Equation.3 . Тогда EMBED Equation.3 – общие решения системы EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 – произвольное постоянные.

Общее решение неоднородной системы EMBED Equation.3 представляется суммой частного решения и общего решения соответствующей неоднородной системы.

Решить неоднородную систему EMBED Equation.3 можно, если подобрать какое-либо частное решение этой системы и решить соответствующую однородную систему. Если частное решение подобрать не удаётся, можно воспользоваться методом вариации произвольных постоянных.

Пусть уже построена ФСР соответствующей однородной системы. Тогда её общее решение имеет вид EMBED Equation.3 . Полагая EMBED Equation.3 , будем искать решения системы в виде EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 , т.к. EMBED Equation.3 . Введём матрицу EMBED Equation.3 составив её из всех столбцов EMBED Equation.3 . Тогда уравнение запишется в виде EMBED Equation.3 . Заметим, что EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 , следовательно, EMBED Equation.3 . Интегрируя, получаем: EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 . Заметим, что формула EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 приводится к виду EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 – матрица Коши. Здесь EMBED Equation.3 – общее решение соответствующей однородной системы, а EMBED Equation.3 – частное решение неоднородной системы.

EMBED Equation.3 . При фиксированном s матрицу Коши можно понимать как матричное решение уравнения EMBED Equation.3 , удовлетворяющее начальному условию EMBED Equation.3 .