
- •Глава 0. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
- •Глава 1. Уравнения первого порядка.
- •§ 1.1 Уравнения, разрешённые относительно производных; их геометрическая интерпретация.
- •§ 1.2 Уравнение с разделяющимися переменными.
- •§1.3 Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
- •§ 1.4 Линейные уравнения
- •§ 1.5 Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения, разрешённого относительно производной
- •§ 1.6 Уравнения, не разрешённые относительно производных.
- •Глава 2. Уравнения порядка выше первого.
- •§ 2.1 Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.
- •§ 2.2 Линейные уравнения. Общие свойства линейных уравнений.
- •§ 2.3 Решение однородных линейных уравнений
- •§ 2.4 Решение однородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами
- •§2.5 Формула Остроградского-Лиувилля
- •§2.6 Решения неоднородных линейных уравнений. Метод вариации произвольных переменных. Функция Коши.
- •Глава 3. Краевые задачи для линейного уравнения второго порядка
- •§ 3.2 Решение неоднородных краевых задач. Функция Грина.
- •§3.3 Однородные краевые задачи. Собственные значения и собственные функции.
- •Глава 0. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
- •Глава 1. Уравнения первого порядка.
- •§ 1.1 Уравнения, разрешённые относительно производных; их геометрическая интерпретация.
- •§ 1.2 Уравнение с разделяющимися переменными.
- •§1.3 Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
- •§ 1.4 Линейные уравнения
- •§ 1.5 Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения, разрешённого относительно производной
- •§ 1.6 Уравнения, не разрешённые относительно производных.
- •Глава 2. Уравнения порядка выше первого.
- •§ 2.1 Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.
- •§ 2.2 Линейные уравнения. Общие свойства линейных уравнений.
- •§ 2.3 Решение однородных линейных уравнений
- •§ 2.4 Решение однородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами
- •§2.5 Формула Остроградского-Лиувилля
- •§2.6 Решения неоднородных линейных уравнений. Метод вариации произвольных переменных. Функция Коши.
- •Глава 3. Краевые задачи для линейного уравнения второго порядка
- •§ 3.2 Решение неоднородных краевых задач. Функция Грина.
- •§3.3 Однородные краевые задачи. Собственные значения и собственные функции.
- •Глава 4. Системы дифференциальных уравнений.
- •§4.1 Нормальные системы.
- •§1.2 Линейные системы. Общие свойства линейных систем.
- •§4.3 Решение однородных линейных систем
- •§4.1. Решение однородных линейных систем с постоянными коэффициентами
- •Глава 5. Устойчивость решений дифференциальных уравнений
- •§5.1 Понятие устойчивости по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Точки покоя.
- •§5.2 Простейшие типы точек покоя на плоскости
- •§5.3 Исследование на устойчивость по первому приближению
- •§5.4 Прямой (второй) метод Ляпунова
- •Глава 6. Уравнения с частными производными первого порядка.
- •§6.2. Решение однородных линейных уравнений
- •§6.3. Решение квазилинейных уравнений
- •§6.4. Решение задачи Коши для квазилинейных уравнений
- •Глава 4. Системы дифференциальных уравнений.
- •§4.1 Нормальные системы.
- •§1.2 Линейные системы. Общие свойства линейных систем.
- •§4.3 Решение однородных линейных систем
- •§4.1. Решение однородных линейных систем с постоянными коэффициентами
- •Глава 5. Устойчивость решений дифференциальных уравнений
- •§5.1 Понятие устойчивости по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Точки покоя.
- •§5.2 Простейшие типы точек покоя на плоскости
- •§5.3 Исследование на устойчивость по первому приближению
- •§5.4 Прямой (второй) метод Ляпунова
- •Глава 6. Уравнения с частными производными первого порядка.
- •§6.2. Решение однородных линейных уравнений
- •§6.3. Решение квазилинейных уравнений
- •§6.4. Решение задачи Коши для квазилинейных уравнений
Глава 3. Краевые задачи для линейного уравнения второго порядка
Рассмотрим уравнение EMBED Equation.3 . Ранее такое уравнение изучалось на EMBED Equation.3 в предположении непрерывности функций EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 , строилось общее решение. Для однородного уравнения (при EMBED Equation.3 ) строилась ФСР. При этих условиях задача Коши для нашего уравнения с начальными условиями EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 – фиксированная точка из EMBED Equation.3 , а EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 – заданные числа, всегда однозначно разрешима. Всё приведённое сохраняется, если вместо EMBED Equation.3 рассматривается EMBED Equation.3 .
В этой главе нас интересует краевые задачи для уравнения EMBED Equation.3 . Это значит, что дополнительные условия мы будем ставить в граничных точка промежутка. В этом случае, несмотря на то, что задача Коши для этого уравнения всегда однозначно разрешима, краевая задача может оказаться неразрешимой, разрешимой неоднозначно или однозначно разрешимой.
В дальнейшем будем рассматривать вместо этого уравнения уравнение EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 . Будем полагать, что функции EMBED Equation.3 определены и непрерывны на EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 .
Приведённые условия позволяют легко перейти от первого уравнения ко второму. Действительно, EMBED Equation.3 . Возможен и обратный переход: домножим первое уравнение на EMBED Equation.3 . Отсюда следует, что вся предыдущая теория переносится на уравнения второго вида.
Рассмотрим для этого уравнения краевые задачи, дополняя его краевыми условиями: EMBED Equation.3 . (эти краевые условия часто называют условиями Штурма-Лиувилля). Эти условия рассматриваются при естественных ограничениях: EMBED Equation.3 . Если в этих условиях EMBED Equation.3 , то они принимают вид: EMBED Equation.3 и называются краевыми условиями I рода, а задача – I-й краевой задачей. Если EMBED Equation.3 , то условия принимают вид: EMBED Equation.3 и называются краевыми условиями II рода, а задача – II краевой задачей. Если все коэффициенты отличны от 0, то эти условия называются условиями III рода, а задача – III краевой задачей. Если на концах промежутка EMBED Equation.3 заданы условия разных типов, то задача называется смешанной краевой задачей. Если в уравнении EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 , то задача называется однородной краевой задачей, иначе – неоднородной краевой задачей.
§ 3.2 Решение неоднородных краевых задач. Функция Грина.
Рассмотрим неоднородную краевую задачу: EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 определены и непрерывны на EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 . Далее будем полагать, что EMBED Equation.3 . В противном случае от этих неоднородностей можно избавиться соответствующей заменой переменных.
Пусть однородная краевая задача – EMBED Equation.3 имеет единственное решение EMBED Equation.3 . Тогда соответствующая неоднородная краевая задача – EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 – имеет единственное решение при любой неоднородности EMBED Equation.3 .
Рассмотрим однородное уравнение – EMBED Equation.3 . При наших условиях ФСР этого уравнения существует: EMBED Equation.3 , следовательно, можно написать общее решение: EMBED Equation.3 . Модифицируем ФСР, согласовав его с краевыми условиями. Пусть EMBED Equation.3 – решение, удовлетворяющее первому из двух краевых условий (при EMBED Equation.3 ). Оно находится соответствующим выбором EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 . Отметим, что EMBED Equation.3 , следовательно, EMBED Equation.3 не удовлетворяет условию при EMBED Equation.3 . Аналогично EMBED Equation.3 – решение, удовлетворяющее условию при EMBED Equation.3 и не удовлетворяющее при EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 линейно независимы по построению, следовательно, они образуют ФСР. Имеем общее решение: EMBED Equation.3 . Варьируем постоянные: EMBED Equation.3 . Найдём решение неоднородной задачи в виде EMBED Equation.3 . Отсюда EMBED Equation.3 (здесь EMBED Equation.3 – определитель Вронского). EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Удовлетворим краевые условия. При EMBED Equation.3 получаем: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . При этом EMBED Equation.3 по построению функции EMBED Equation.3 . Следовательно, это равенство будет выполняться при EMBED Equation.3 и при EMBED Equation.3 . Рассмотрим условие при EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Таким образом, решение краевой задачи есть EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 . Таким образом, построено решение краевой задачи. Оно определяется формулой EMBED Equation.3 . Построенное решение единственно. Предположив, что есть ещё одно решение, отличное от построенного, можно рассмотреть разность двух решений. Эта разность является решением однородной краевой задачи, которая имеет только тривиальное решение (по условию). Получаем противоречие.
Функция EMBED Equation.3 называется формулой Грина нашей краевой задачи. Построив её, можно сразу выписать решение краевой задачи. Отметим, что EMBED Equation.3 не зависит от выбора f.
Свойства функции Грина:
EMBED Equation.3 непрерывна на EMBED Equation.3 .
При EMBED Equation.3 как функция x удовлетворяет однородному уравнению EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 как функция x удовлетворяет краевым условиям (в силу выбора EMBED Equation.3 ).
EMBED Equation.3 на диагонали EMBED Equation.3 имеет скачок величины EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 .
Свойства 1-4 являются определяющими свойствами функции Грина: любая функция, обладающая этими свойствами является функцией Грина своей краевой задачи. Функция Грина определяется однозначно.