- •Глава 0. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
- •Глава 1. Уравнения первого порядка.
- •§ 1.1 Уравнения, разрешённые относительно производных; их геометрическая интерпретация.
- •§ 1.2 Уравнение с разделяющимися переменными.
- •§1.3 Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
- •§ 1.4 Линейные уравнения
- •§ 1.5 Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения, разрешённого относительно производной
- •§ 1.6 Уравнения, не разрешённые относительно производных.
- •Глава 2. Уравнения порядка выше первого.
- •§ 2.1 Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.
- •§ 2.2 Линейные уравнения. Общие свойства линейных уравнений.
- •§ 2.3 Решение однородных линейных уравнений
- •§ 2.4 Решение однородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами
- •§2.5 Формула Остроградского-Лиувилля
- •§2.6 Решения неоднородных линейных уравнений. Метод вариации произвольных переменных. Функция Коши.
- •Глава 3. Краевые задачи для линейного уравнения второго порядка
- •§ 3.2 Решение неоднородных краевых задач. Функция Грина.
- •§3.3 Однородные краевые задачи. Собственные значения и собственные функции.
- •Глава 0. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
- •Глава 1. Уравнения первого порядка.
- •§ 1.1 Уравнения, разрешённые относительно производных; их геометрическая интерпретация.
- •§ 1.2 Уравнение с разделяющимися переменными.
- •§1.3 Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
- •§ 1.4 Линейные уравнения
- •§ 1.5 Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения, разрешённого относительно производной
- •§ 1.6 Уравнения, не разрешённые относительно производных.
- •Глава 2. Уравнения порядка выше первого.
- •§ 2.1 Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.
- •§ 2.2 Линейные уравнения. Общие свойства линейных уравнений.
- •§ 2.3 Решение однородных линейных уравнений
- •§ 2.4 Решение однородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами
- •§2.5 Формула Остроградского-Лиувилля
- •§2.6 Решения неоднородных линейных уравнений. Метод вариации произвольных переменных. Функция Коши.
- •Глава 3. Краевые задачи для линейного уравнения второго порядка
- •§ 3.2 Решение неоднородных краевых задач. Функция Грина.
- •§3.3 Однородные краевые задачи. Собственные значения и собственные функции.
- •Глава 4. Системы дифференциальных уравнений.
- •§4.1 Нормальные системы.
- •§1.2 Линейные системы. Общие свойства линейных систем.
- •§4.3 Решение однородных линейных систем
- •§4.1. Решение однородных линейных систем с постоянными коэффициентами
- •Глава 5. Устойчивость решений дифференциальных уравнений
- •§5.1 Понятие устойчивости по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Точки покоя.
- •§5.2 Простейшие типы точек покоя на плоскости
- •§5.3 Исследование на устойчивость по первому приближению
- •§5.4 Прямой (второй) метод Ляпунова
- •Глава 6. Уравнения с частными производными первого порядка.
- •§6.2. Решение однородных линейных уравнений
- •§6.3. Решение квазилинейных уравнений
- •§6.4. Решение задачи Коши для квазилинейных уравнений
- •Глава 4. Системы дифференциальных уравнений.
- •§4.1 Нормальные системы.
- •§1.2 Линейные системы. Общие свойства линейных систем.
- •§4.3 Решение однородных линейных систем
- •§4.1. Решение однородных линейных систем с постоянными коэффициентами
- •Глава 5. Устойчивость решений дифференциальных уравнений
- •§5.1 Понятие устойчивости по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Точки покоя.
- •§5.2 Простейшие типы точек покоя на плоскости
- •§5.3 Исследование на устойчивость по первому приближению
- •§5.4 Прямой (второй) метод Ляпунова
- •Глава 6. Уравнения с частными производными первого порядка.
- •§6.2. Решение однородных линейных уравнений
- •§6.3. Решение квазилинейных уравнений
- •§6.4. Решение задачи Коши для квазилинейных уравнений
Глава 2. Уравнения порядка выше первого.
§ 2.1 Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.
В общем случае уравнения порядка выше первого представляются в виде EMBED Equation.3 . Если такое уравнение приводится к виду EMBED Equation.3 , то оно называется уравнением, разрешённым относительно старшей производной. Будем полагать, что f определена в области EMBED Equation.3 . Зафиксируем EMBED Equation.3 . Дополнив уравнение начальными условиями: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 получим задачу Коши.
Пусть функция f непрерывна в D и имеет в D непрерывные производные по всем аргументам, начиная со второго. Тогда найдётся отрезок EMBED Equation.3 , на котором задача Коши имеет единственное решение.
При условиях теоремы общее решение уравнения EMBED Equation.3 представляется в виде EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 – произвольные постоянные.
Для доказательства теоремы часто уравнение EMBED Equation.3 сводят к системе уравнений. Вводятся новые переменные: EMBED Equation.3 . В результате получается система: EMBED Equation.3 . Начальные условия при этом принимают вид: EMBED Equation.3 . Таким образом, задача Коши сопоставляется с другой задачей Коши, составленной из новых переменных. Свойства системы подобны свойствам уравнения, разрешённого относительно производной из предыдущего раздела. Поэтому она может быть исследована прежними методами. Решив эту задачу Коши, выберем компоненту EMBED Equation.3 и получим решение старой задачи Коши.
Отметим, что под решением уравнения EMBED Equation.3 понимается функция непрерывная и имеющая непрерывные производные до порядка n включительно, которая, будучи подставленной в уравнение обращает его в тождество.
§ 2.2 Линейные уравнения. Общие свойства линейных уравнений.
Под линейными уравнением будем понимать уравнение вида EMBED Equation.3 . Здесь EMBED Equation.3 – коэффициенты уравнения. Если EMBED Equation.3 , то уравнение называется уравнением с переменными коэффициентами. Если EMBED Equation.3 постоянны, то уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами. Функция EMBED Equation.3 – неоднородность уравнения. Если EMBED Equation.3 , то уравнение называется однородным. В противном случае – неоднородным. Если в неоднородном уравнении формально отбросить EMBED Equation.3 , то получится соответствующее однородное уравнение.
Введём формальный оператор EMBED Equation.3 . Тогда уравнение примет вид: EMBED Equation.3 .
Общие свойства линейных уравнений:
Пусть EMBED Equation.3 – решение EMBED Equation.3 . Тогда EMBED Equation.3 – решение этого же уравнения при EMBED Equation.3 .
Пусть EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 – решения уравнения EMBED Equation.3 . Тогда EMBED Equation.3 – решение EMBED Equation.3 .
(принцип суперпозиции) Пусть в уравнении EMBED Equation.3 неоднородность EMBED Equation.3 представляется в виде: EMBED Equation.3 . Пусть EMBED Equation.3 – решение уравнения EMBED Equation.3 . Тогда EMBED Equation.3 – решение EMBED Equation.3 .
Пусть EMBED Equation.3 – решения однородного уравнения. Тогда EMBED Equation.3 – решение этого же уравнения при EMBED Equation.3 .
Пусть EMBED Equation.3 – решение уравнения EMBED Equation.3 – решение EMBED Equation.3 . Тогда EMBED Equation.3 – решение уравнения EMBED Equation.3 .
Следствия дают программу дальнейших исследований. Первое следствие приведёт к общему решению однородного уравнения, а второе – к общему решению неоднородного уравнения.
Пусть уравнение EMBED Equation.3 с вещественными коэффициентами имеет комплексное решение EMBED Equation.3 . Тогда EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 – вещественные решения этого же уравнения.
В дальнейшем будем полагать, что функции EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 определены на EMBED Equation.3 .
Пусть EMBED Equation.3 . Дополним уравнение EMBED Equation.3 начальными условиями EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 – заданные значения. Получим задачу Коши.
Пусть функции EMBED Equation.3 непрерывны на EMBED Equation.3 . Тогда задача Коши имеет единственное решение на всём EMBED Equation.3 .
Далее считаем, что EMBED Equation.3 – непрерывны на EMBED Equation.3 .