Пример выполнения работы
Структурная схема системы 1 (схема расчета надежности) изображена на рис. 8.6. Она состоит из четырех элементов и представляет собой общее резервирование с постоянно включенным резервом.
Рис. 8.6. Схема расчета надежности
Время работы до отказа каждого элемента имеет экспоненциальное распределение с параметром λ = 0,002 час-1. После отказа любого элемента интенсивность отказа резервных элементов увеличивается и равна λ' = 0,003 час-1.
Элементы дублированной системы (системы 2) с постоянно включенным резервом имеют усечено нормальный закон распределения времени до отказа с математическим ожиданием m = 500 час и средним квадратическим отклонением σ = 200 час. После отказа одного из элементов исправный элемент сохраняет вид закона, но в 2 раза уменьшается среднее время до отказа: m' = =500 час.
Время работы обеих систем t = 400 час.
Необходимо определить вероятность и среднее время безотказной работы систем 1 и 2 при отсутствии и при наличии последействия отказов.
Решение.
Определим
вероятность безотказной работы системы
1 при отсутствии последействия отказов.
Вероятность безотказной работы
нерезервированной системы равна 
,
вероятность ее отказа 
.
Поэтому вероятность отказа резервированной
системы равна
,
а вероятность ее безотказной работы:
Определим вероятность безотказной работы системы 1 при наличии последействия отказов. На рис. 8.7 представлен граф состояний системы.
Рис.8.7. Граф состояний системы
Система
дифференциальных уравнений для
определения 
имеет вид:
Найдем решение системы аналитически. Из первого уравнения получаем
.
Тогда из второго уравнения 
.
Это линейное дифференциальное уравнение
первого порядка, которое можно представить
в виде: 
.
Интегрируя обе части, получим:
Таким образом,
Графики
вероятностей безотказной работы 
и 
строятся
по формулам (8.18) и (8.19). Они изображены
на рис. 8.8.
Рис. 8.8. Вероятность безотказной работы системы 1 без последействия (кривая 1)
и с последействием (кривая 2) отказов
Как следует из графиков, если не учитывать эффект последействия отказов, вероятность безотказной работы будет завышена. Относительная погрешность в момент времени t = 400 час составляет 33,7%.
Определим среднее время безотказной работы системы 1 при отсутствии последействия отказов на основе формулы (8.18):
Среднее время безотказной работы системы при наличии последействия определим на основе формулы (8.19):
Подставляя
численные значения, получим 
=292
час. Таким образом, по среднему времени
безотказной работы без учета последействия
оценка также является завышенной.
Проведем анализ надежности дублированной системы (системы 2) с усеченными нормальными законами распределения отказов элементов.
Вероятность безотказной работы дублированной системы при отсутствии и при наличии последействия отказов определим с помощью программы aftereffect.exe, описание которой содержится в части IV. Результаты расчетов приведены в табл. 8.4 и в виде графиков на рис. 8.9.
Результатом работы программы является также среднее время безотказной работы дублированной системы при отсутствии и при наличии последействия отказов:
Таблица 8.4. Значения P(t) дублированной системы
t, час |
|
|
0 |
1 |
1 |
40 |
0,9997 |
0,9999 |
80 |
0,9989 |
0,9998 |
120 |
0,9968 |
0,9995 |
160 |
0,9927 |
0,9985 |
200 |
0,9854 |
0,9964 |
240 |
0,9734 |
0,9919 |
280 |
0,9544 |
0,9832 |
320 |
0,9261 |
0,9679 |
360 |
0,8860 |
0,9432 |
400 |
0,8320 |
0,9058 |
Рис. 8.9. Вероятность безотказной работы дублированной системы
без последействия (кривая 1) и с последействием (кривая 2) отказов
На основе полученных расчетов можно сделать следующие выводы:
эффект последействия отказов отрицательно влияет на показатели надежности систем;
определить вероятности безотказной работы системы при наличии последействия отказов элементов – более сложная вычислительная задача, чем при его отсутствии;
имеет место существенное различие в графиках вероятностей безотказной работы двух систем, а именно: для системы с экспоненциальными распределениями времени до отказа элементов наблюдается достаточно быстрое снижение надежности по сравнению с неэкспоненциальными распределениями.