3. Последовательность выполнения работы

Лабораторную работу следует выполнять в такой последовательности:

1. Исследование эффективности структурного резервирования.

2. Сравнительный анализ структурного и нагрузочного резервирования.

3. Исследование влияния воздействия отказов на эффективность структурного резервирования.

В отчете по лабораторной работе должны быть следующие пункты;

1. Постановка задачи.

2. Результаты исследований в виде формул, графиков и таблиц по каждому из разд. 3.3.1−3.3.3.

3. Выводы по результатам исследований.

1. Исследование эффективности структурного резервирования

Оценка выигрыша надежности по среднему времени безотказной работы

Оценить выигрыш G_T можно, если представить зависимость G_T = G_T(m) в виде таблицы. Воспользуемся для этой цели системой Derive 5. Для решения задачи нужно выполнить следующие действия:

• ввести выражение

• образовать выражение с помощью кнопки Find Sum панели инструментов;

• протабулировать это выражение с помощью функции VECTOR, имеющей вид:

VECTOR ([m, #2], m, mn, mk, dm),

где #2 – номер выражения (в данном случае предполагается, что выражение находится в строке #2); mn, mk – начальное и конечное

значения кратности резервирования; dm – шаг таблицы.

Выберите mn = 0 (резервирование отсутствует), mk = 9 (в системе 10 подсистем, из которых 9 резервных), dm = 1. Тогда функция будет иметь вид:

VECTOR ([m, #2], m, 0, 9, 1).

После выполнения функции на экране монитора появится решение в виде табл. 3.1.

Таблица 3.1. Выигрыш надежности системы по среднему времени безотказной работы

m	GT(m)
0	1
1	1,5
2	1,83333
…	…
9	2,92896

Из таблицы следует важный вывод: с увеличением кратности резервирования m среднее время безотказной работы увеличивается незначительно. Проанализируйте данные таблицы и сделайте более конкретные выводы.

Оценка выигрыша надежности по вероятности отказа системы

Выигрыш G_q(t) надежности резервированной системы по вероятности отказа является функцией времени, зависящей от интенсивности отказа исходной системы и кратности резервирования.

Представим эту функцию в виде:

где x = λt.

Зависимости G = G(x,m) приведены на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Выигрыш надежности резервированной системы

Получим зависимость G(x,m) в виде таблицы, воспользовавшись функцией VECTOR следующего вида:

VECTOR ([x, #2, #3, #4, #5], x, xn, xk, dx),

где #i – номера выражений для G(x,m) на экране монитора, соответственно для m = 1, m = 2, m = 3, m = 4. С позиции анализа результатов и удобства их представления на экране выберем: xn = 0,1, xk = 2, dx = 0,2. Тогда функция будет иметь вид:

VECTOR ([x, #2, #3, #4, #5], x, 0.1, 2, 0.2).

Выражения выигрышей G(x,m) для m = 1, m = 2, m = 3, m = 4 можно получить из формулы (3.5). Для этого необходимо в (3.5) подставить поочередно значения m, используя кнопку Sub панели инструментов. В результате на экране монитора будут выведены 4 выражения с присвоенными номерами, в нашем случае это строки #2, #3, #4, #5. После исполнения команды VECTOR на экране появляется табл. 3.2.

Таблица 3.2. Результаты табулирования функции G(x,m)

m x	1	2	3	4
0,1	10,5083	110,425	1160,38	12193,7
0,3	3,85829	14,8864	57,4363	221,606
…	…	…	…	…
1,9	1,17587	1,38267	1,62585	1,91180

Шапка таблицы на экране отсутствует, ее можно составить самостоятельно. Спишите данные таблицы и сделайте выводы. Обратите внимание на главное: с ростом x выигрыш надежности G(x,m) убывает, т.е. чем больше надежна резервируемая система и чем меньше время ее работы, тем выше эффективность резервирования.

С увеличением кратности резервирования выигрыш увеличивается, причем увеличение тем значительней, чем меньше произведение λt. Делая выводы, проиллюстрируйте их числовыми данными таблицы.

Исследование свойств интенсивности отказа резервированной системы

Исследуем свойства интенсивности отказа, воспользовавшись зависимостью (3.4). Исследования целесообразно выполнить в такой последовательности:

• ввести выражение для вероятности безотказной работы резервированной системы ;

• нажать кнопку Find Derivative панели инструментов, на экране появится окно Calculus Differentiate;

• установить на вкладке Variable переменную дифференцирования t, на вкладке Order установить порядок производной – 1, после нажатия кнопки ОК на экране отобразится значение производной;

• нажать кнопку Simplify или Approximate – на экране появится выражение для производной;

• ввести выражение интенсивности отказа системы – #3/#1 (предполагается, что в строке #1находится выражение вероятности безотказной работы, а в строке #3 – производная), на экране появится выражение интенсивности отказов системы;

• определить диапазон изменения переменной m с помощью пункта меню Declare │Variable Domain (переменная m положительна в диапазоне от 0 до ∞), на экране появится запись:

m : Real (0, ∞)

• после нажатия кнопки Find Limit панели инструментов на экране отобразится окно Calculus limit;

• установить на вкладке Variable переменную t, а на вкладке Limit Point задать 0, после нажатия кнопки ОК на экране отобразится выражение предела;

• после нажатия на кнопку Simplify или Approximate на экране появится значение предела – 0;

• выделить выражения для λ_с(t) и повторить предыдущих три пункта для случая t⟶∞, на экране появится значение предела – λ. Предел будет получен только после замены переменной m любым ее численным значением.

Процедуры вычисления пределов имеют следующий вид:

Изобразим графики функции λ_с(t) при различных значениях m и одном значении λ. Для этого создадим выражения для λ_с(t) при m = 1, m = 2, m = 3, m = 4 и последовательно, один за другим, построим семейство графиков, предварительно подобрав необходимые масштабы по осям координат (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Зависимости интенсивностей отказов системы от времени

Зависимости λ_с(t)получены для случая λ_с = 0,1, m = 1, 2, 3, 4.

Из графиков видно, что при постоянной, отличной от нуля интенсивности отказов исходной системы, интенсивность отказа резервированной системы при t = 0 равна нулю и увеличивается с течением времени, стремясь к постоянной величине, равной интенсивности отказов нерезервированной системы.

Объясните это явление физически на основании ваших знаний теории надежности.