.2 Замена переменных в двойном интеграле

При вычислении двойных интегралов иногда бывает полезно сделать замену переменных. Пусть

(3.13)

функции, определенные на всей плоскости или в некоторой ее области и имеющие непрерывные частные производные в области . Допустим также, что систему уравнений (3.13) можно однозначно разрешить относительно и :

(3.14)

тогда каждой точке из области будет взаимно однозначно соответствовать пара чисел , называемых криволинейными интегралами этой точки. Если область расположена в той части плоскости , в которой введены криволинейные координаты , , то справедлива следующая формула:

, (3.15)

где - область изменения криволинейных координат и , отвечающая области , а преобразования (3.14):

.

В частности, в полярных координатах формула (3.14) имеет вид (рис.14)

(3.16)

Система (3.16) осуществляет переход от прямоугольных координат и к полярным координатам и при условии, что полюс помещен в начале координат и полярная ось направлена вдоль оси (рис.15). В этом случае фор-

мула (3.15) принимает вид

.

Если область ограничена лучами, образующими с полярной осью углы и , кривыми и (см. рис. 15), то соответствующие этой области полярные координаты изменяются в пределах и тогда

. (3.17)

Если область охватывает начало координат, то

, (3.18)

где полярное уравнение кривой, ограничивающее область (рис.16).

Формулы (3.17) и (3.18) очень удобно использовать при решении задач, когда область есть круг или сектор круга.

Образцы решения задач

Пример 1. Вычислить двойной интеграл

, если область ограничена окружностью (рис.17).

Решение. Область есть круг радиуса 1 с центрами в начале координат. Введем полярные координаты. В полярных координатах уравнение окружности примет вид , или (см. формулы (3.18)), т.е. или . Тогда по формуле (3.18) получаем:

Замечание. Интеграл взят методом замены переменной. Положим . При получим , а при . Изменению переменой от до соответствует изменение переменной от до .

, или , откуда . Подставляя полученные выражения в интеграл, получим .

П ример 2. Вычислить двойной интеграл , если область ограничена верхней половиной дуги окружности и отрезком оси от точки с абсциссой, равной до точки с абсциссой, равной (рис.18).

Решение. Введем полярные координаты. Тогда уравнение окружности примет вид

или окончательно имеем .

Найдем область определения этой функции. Так как по определению , то , то есть . Верхняя часть дуги окружности лежит в первой четверти, для которой меняется в пределах от до . По формуле (3.17) имеем

Пример 3. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью и параболоидом (рис.19).

Решение. Сверху данное тело (см.рис.19) ограничено параболоидом , поэтому, воспользовавшись формулой (3.10) для вычисления объема цилиндрического тела, ограниченного плоскостью плоскости , имеем

Область (рис.20) есть круг, его границу получим подстановкой в уравнение .

Введем полярные координаты. Тогда уравнение окружности примет вид ; ; ; . Угол меняется от до 2 .

Учитывая симметрию тела относительно плоскостей и , воспользовавшись формулой (3.10) , найдем:

Следовательно, .

Пример 4. Вычислить двойной интеграл

, если область ограничена линиями: дугой окружности и прямыми , . (рис.21).

Решение. Введем полярные координаты. Тогда уравнение окружности примет вид: ;

; ; .

Найдем угол между прямой и осью . В полярных координатах уравнение прямой примет вид: ; ; ; .

Значит угол между прямой и осью равен . Найдем угол между прямой и осью . В полярных координатах данное уравнение примет вид:

; ; ; . Значит угол равен .

Таким образом получим пределы изменения угла от до . По формуле (3.17) имеем:

Вариант №1 Вычислить 1) 2) 3) 4) 5) 6) Вариант №3 Вычислить 1) 2) 3) 4) 5) 6) Вариант №5 Вычислить 1) 2) 3) 4) 5) 6) Вариант №7 Вычислить 1) 2) 3) 4) 5) 6) Вариант №9 Вычислить 1) 2) 3) 4) 5) 6) Вариант №12 Вычислить 1) 2) 3) 4) 5) 6) Вариант №14 Вычислить 1) 2) 3) 4) 5) 6) Вариант №16 Вычислить 1) 2) 3) 4) 5) II четверть 6) Вариант №18 1) 2) 3) 4) 5) III-четверть 6) Вариант №20 1) 2) 3) 4) 5) 6) I-четверть Вариант №22 1) 2) 3) 4) 5) I-четверть 6) Вариант №24 1) 2) 3) 4) 5) 6)

Вариант №2 Вычислить 1) 2) 3) 4) 5) 6) Вариант №4 Вычислить 1) 2) 3) 4) 5) 6) Вариант №6 Вычислить 1) 2) 3) 4) 5) 6) Вариант №8 Вычислить 1) 2) 3) 4) 5) 6) Вариант №10 Вычислить 1) 2) 3) 4) 5) 6) Вариант №11 Вычислить 1) 2) 3) 4) 5) 6) Вариант №13 Вычислить 1) 2) 3) 4) 5) 6) Вариант №15 Вычислить 1) 2) 3) 4) 5) 7) Вариант №17 Вычислить 1) 2) 3) 4) 5) Вариант №19 1) 2) 3) 4) 5) II-четверть 6) Вариант №21 1) 2) 3) 4) 5) 5. I-четверть 6) Вариант №23 1) 2) 3) 4) 5) III -четверть 6) Вариант №25 Вычислить 1) 2) 3) 4) 5) 6)