Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гомельский государственный университет им. Франциска Скорины

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лаб работы ФАН 5сем.doc

Скачиваний:

Добавлен:

17.11.2019

Размер:

3.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Лабораторная работа 2

Топология метрических пространств

Примеры решения задач

Задача 1 Является ли данное множество открытым, замкнутым, ограниченным в пространстве . Найти его замыкание, внутренние и граничные точки.

Пример 1 .

Решение. Множество не является открытым, и более того, ни одна его точка не является внутренней. Действительно, и для любого шара имеем , но , так как .

Множество является замкнутым, так как оно содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей. Действительно, если в , , то и . А это значит, что .

Граница множества совпадает с самим множеством , что теперь сразу следует из формулы .

Множество не является ограниченным, так как последовательность ,

но .

Пример 2 .

Решение. Покажем, что является открытым. Возьмём , т.е. .

Тогда . Покажем, что шар . Возьмём .

Это значит, что . Тогда

Значит, .

Так как М открыто, то .

Множество М не является замкнутым, так как содержит не все свои предельные точки. Действительно, возьмём последовательность из М. Тогда , но , т.е. .

Замечание. Нормированное пространство X всегда связно, так как любые две его точки х и у можно связать непрерывным путем , лежащим в X, а потому в нем нет открытых и одновременно замкнутых собственных подмножеств.

Замыкание . Действительно, если x₀ принадлежит , то найдется последовательность равномерно сходящаяся к на [a,b]. А тогда

Обратно, если , то последовательность принадлежит М и сходится к х₀ равномерно (проверьте!), а потому х₀принадлежит .

Теперь ясно, что граница .

Наконец, не является ограниченным, так как , но .

Пример 3 .

Решение. Покажем, что М открыто. Возьмём . Тогда , а потому . Рассмотрим . Для любого имеем , а тогда .

Покажем, что замыкание множества М есть . Действительно, если x₀ принадлежит , то найдется последовательность равномерно сходящаяся к на [a,b]. А тогда . Обратно, если , то последовательность принадлежит М и сходится к равномерно на [a,b] (проверьте), а потому принадлежит .

Теперь ясно, что граница .

Очевидно, что данное множество ограничено.

Задача 2 Для данного множества А выяснить, является ли множество открытым, замкнутым, ограниченным в .

Пример 1 .

Решение. Множество замкнуто, так как содержит в себе все свои предельные точки. Действительно, если то (почему?). Но так как , то и . Значит, В.

Так как В замкнуто, то оно не является открытым, поскольку пространство связно (см. замечание в решении примера 2 к задаче 1), но легко дать и прямое доказательство. Действительно, точка e₁=(1,0,0,…) принадлежит В, но для любого точка , хотя и лежит в - окрестности точки .

Наконец, В ограничено, так как .

Пример 2 .

Решение. Множество не является открытым. Для доказательства покажем, что точка не является для него внутренней. Возьмём и найдём такое натуральное N, что . Тогда , но , поскольку .

Множество В не замкнуто. Действительно, рассмотрим . Тогда сходится к точке , так как при , но .

Множество В ограничено, так как .

Пример 3 .

Решение. Покажем, что множество открыто. Возьмём . Найдется такое , что . Если (шар рассматривается, конечно, в ), то . Тогда и . Теперь в силу неравенства Минковского имеем

Значит, , т.е. . Итак, .

Так как В открыто, то В не замкнуто по замечанию из решения примера 2 к задаче 1. Дадим прямое доказательство этого факта. Точки где , очевидно, принадлежат В. В то же время, сходится в к .